cercare un campo di spezzamento

[laura.]

sto cercando il campo di spezzamento del polinomio \( \displaystyle {\left({{x}}^{{6}}+{1}\right)}{\left({{x}}^{{3}}-{2}\right)}={\left({{x}}^{{2}}+{1}\right)}{\left({{x}}^{{4}}-{{x}}^{{2}}+{1}\right)}{\left({{x}}^{{3}}-{2}\right)} \) . Le radici sono rispettivamente \( \displaystyle {i},-{i} \) per il primo fattore, \( \displaystyle \sqrt{{\frac{{{1}+{i}\sqrt{{{3}}}}}{{2}}}} \), \( \displaystyle \sqrt{{\frac{{{1}-{i}\sqrt{{{3}}}}}{{2}}}} \)e le opposte per il secondo, \( \displaystyle {\sqrt[{{3}}]{{{2}}}} \) , \( \displaystyle \omega \)\( \displaystyle {\sqrt[{{3}}]{{{2}}}} \) , \( \displaystyle {\omega}^{{2}}{\sqrt[{{3}}]{{{2}}}} \) per il terzo, dove \( \displaystyle \omega \) è una radice terza primitiva dell'unità. Inoltre il campo di spezzamento del terzo fattore è \( \displaystyle {Q}{\left(\omega,{\sqrt[{{3}}]{{{2}}}}\right)} \) e quello del prodotto dei primi 2fattori dovrebbe essere \( \displaystyle {Q}{\left({i},\sqrt{{3}}\right)} \); sapendo che il secondo fattore è il polinomio minimo delle radici primitive dodicesime dell'unità (è il dodicesimo polinomio ciclotomico!) sto cercando un modo per poter togliere qualche radice dall'estensione....ho tentato scrivendo le radici dodicesima attraverso le loro coordinate polari ( \( \displaystyle {\cos{{\left(\frac{\pi}{{6}}\right)}}}+{i}{s}{e}{n}{\left(\frac{\pi}{{6}}\right)} \) )ma mi sono confusa ancora di più!!!

[Martino]

Ciao,

è molto più utile non scomporre il fattore \( \displaystyle {{x}}^{{6}}+{1} \).

Le radici seste di \( \displaystyle -{1} \) sono \( \displaystyle \pm{\left(\frac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}+\frac{{1}}{{2}}{i}\right)} \), \( \displaystyle \pm{i} \), \( \displaystyle \pm{\left(-\frac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}+\frac{{1}}{{2}}{i}\right)} \) (penso che tu sappia elencare le radici di un polinomio del tipo \( \displaystyle {{x}}^{{n}}+{1} \)), quindi per raggiungerle ti bastano \( \displaystyle {i} \) e \( \displaystyle \sqrt{{{3}}} \).

Ma osserva che con \( \displaystyle {i} \) e \( \displaystyle \sqrt{{{3}}} \) raggiungi anche una radice primitiva terza di 1, ...

[laura.]

grazie mille!ho risolto l'esercizio..la soluzione è: \( \displaystyle {Q}{\left({i},{\sqrt[{{3}}]{{{2}}}},\sqrt{{{3}}}\right)} \) in quanto le radici cubiche dell'unità posso ricavarle da \( \displaystyle {i},\sqrt{{{3}}} \)

[Martino]

grazie mille!ho risolto l'esercizio..la soluzione è: \( \displaystyle {Q}{\left({i},{\sqrt[{{3}}]{{{2}}}},\sqrt{{{3}}}\right)} \) in quanto le radici cubiche dell'unità posso ricavarle da \( \displaystyle {i},\sqrt{{{3}}} \)

Sì, risulta così anche a me.
Ciao!