Cerchio tangente a 3 cerchi - SNS 1972 (Conferma soluzione)

[elios]

"Dire quale condizione devono soddisfare tre cerchi del piano di uguale raggio e privi, a due a due, di punti comuni perché esista un quarto cerchio tangente a tutti e tre che li racchiude tutti. Costruire tale cerchio".

Io ho risolto l'esercizio e volevo chiedere conferma della mia soluzione.
Affinché un cerchio contenga altri tre cerchi (tangenti internamente ad esso), ne consegue che i tre centri dei tre cerchi debbano distare dal centro del cerchio cercato la stessa quantità \( \displaystyle {d} \).. Inoltre affinché il cerchio sia tangente ai tre cerchi, esso avrà raggio pari a \( \displaystyle {d}+{R} \).
Per trovare il punto che sia equidistante dai tre punti (i tre centri dei cerchi), traccio l'asse del segmento che unisce due dei tre punti e traccio l'asse del segmento che unisce altri due punti. Chiamando A,B,C i tre punti, tracciando l'asse del segmento AB, e tracciando l'asse del segmento BC, ottengo il punto D intersezione di questi due assi. Il punto D appartenendo all'asse di AB è equidistante da A e da B, \( \displaystyle {A}{D}={D}{B} \), ed appartenendo all'asse di BC è equidistante da B e da C, \( \displaystyle {D}{B}={D}{C} \). Conseguentemente, per la proprietà transitiva dell'uguaglianza, \( \displaystyle {A}{D}={D}{B}={D}{C} \). Puntando in D con ampiezza pari a \( \displaystyle {A}{D}+{R} \), si traccia il cerchio cercato.
Quindi la condizione per i tre cerchi è che gli assi dei segmenti che uniscono i tre cerchi a due a due non siano a due a due paralleli (altrimenti non esisterebbe il punto D ottenuto per intersezione), cioé i tre cerchi delle circonferenze non devono essere allineati.

Che ne dite?
PS: La mia soluzione non cambia se le circonferenze non fossero prive di punti comuni. A cosa serve quindi questo dettaglio?

Grazie.

[WiZaRd]

Ma ogni tanto alla Normale si fleshano?!
La fama di questo problema precede il problema stesso: il Problema di Apollonio.

[elios]

Si fleshano?? =)
Beh, il "Problema di Apollonio" è un po' diverso, questo esercizio dice che il quarto cerchio deve "racchiudere" gli altri tre.. Credi che la mia soluzione possa essere accettabile?

[WiZaRd]

E in cosa sarebbe diverso? Guarda la figura 2 al link che ho postato. Ci sono tre cerchi neri, il cerchio grigio è quello che risolve il tuo problema nel caso di raggi disuguali, che, per tanto, risulta un caso particolare del problema di Apollonio.

La tua soluzione va comunque bene, solo una piccola notazione: al primo rigo, quando dici "Affinché un cerchio contenga altri tre cerchi (tangenti internamente ad esso)" devi aggiungere "di uguale raggio" ai "tre cerchi", dacché il Problema di Apollonio è risolvibile anche nel caso in cui non vi sia l'uguaglianza dei raggi.

[elios]

Sì, diciamo che non è proprio uguale perché è il problema di Apollonio semplificato.. Grazie della correzione..!

[WiZaRd]

Prego.