Che teorema è?

[peppone19]

se A è un'intervallo chiuso e limitato, f(A) e limitata. che teorema è? non riesco a trovarlo...

[miuemia]

credo che \( \displaystyle {f} \) debba essere continua...altrimenti non è vero

[peppone19]

ma di che teorema si tratta?

[miuemia]

teorema di Weierstrass.

[Catanzani]

No, non è il teorema di Weierstrass, quello riguarda i massimi e minimi assoluti del codominio della funzione. Il teorema in questione è quello di "Limitatezza della funzione continua"; se vogliamo essere precisi il teorema di Weierstrass può essere considerato come una sorta di corollario, in quanto nella sua dimostrazione (nella quale si fa uso di funzioni ausiliarie e la seconda proprietà dell'estremo superiore o inferiore che sia) si menziona il teorema di limitatezza stesso.

Saluti

Enrico Catanzani

[dissonance]

Vabbè, dai, la nomenclatura matematica non è così rigida: le cose cambiano, a seconda dell'autore. Sicuramente peppone si è espresso molto male:

se A è un'intervallo chiuso e limitato, f(A) e limitata.

(in rosso gli errori ortografici: il secondo in particolare rende la frase priva di senso). Potenzialmente qui ci potrebbe essere una riformulazione del teorema di Weierstrass, un cui enunciato tipico è

Teorema(Weierstrass) Una funzione continua \(f \colon [a, b]\to \mathbb{R}\) ammette massimo e minimo (dunque, in particolare, è limitata).

e, se - come sospetto - peppone ha omesso di scrivere nella tesi che \(f(A)\) è un intervallo, qui c'è anche il teorema dei valori intermedi:

Teorema (dei valori intermedi) Se \(I \subset \mathbb{R}\) è un intervallo e \(f\colon I \to \mathbb{R}\) è una funzione continua allora \(f(I)\) è un intervallo.

Di solito i teoremi sono presentati così. Ma è chiaro che nessuno vieta al docente di peppone di fondere i due enunciati in uno solo, anzi è consuetudine fare di queste riformulazioni.

[Catanzani]

Ovviamente, concordo...