Chi ha paura del M.C.D. ?

[karl]

Sono sicuro che avete passato un bellissimo Natale.Ed io sono
quì proprio per...rovinarvelo con questo esercizio.
Trovare il M.C.D. di tutti i numeri del tipo \( \displaystyle {{n}}^{{n}}-{n} \) dove \( \displaystyle {n} \) e' un intero dispari >1.
A proposito la scritta "M.C.D." sta per "massimo comune divisore":lo sapete vero?!!
Archie.

[Tipper]

n^(n-1)-1 ?

[karl]

@Tipper
Se la tua risposta e' n,dico subito di no perche' n e' variabile.
Archie.

[Tipper]

Ho rieditato il post mentre mi rispondevi, ma penso che sia sbagliata anche questa

[carlo23]

Sono sicuro che avete passato un bellissimo Natale.Ed io sono
quì proprio per...rovinarvelo con questo esercizio.
Trovare il M.C.D. di tutti i numeri del tipo \( \displaystyle {{n}}^{{n}}-{n} \) dove \( \displaystyle {n} \) e' un intero dispari >1.
A proposito la scritta "M.C.D." sta per "massimo comune divisore":lo sapete vero?!!
Archie.

Se \( \displaystyle {M} \) è il massico comun divisore dei numeri \( \displaystyle {a}_{{1}},{a}_{{2}}\ldots{a}_{{k}} \) allora certamente \( \displaystyle {M} \) è minore di ogni \( \displaystyle {a} \).

Quindi il M.C.D. di tutti i numeri del tipo \( \displaystyle {{n}}^{{n}}-{n} \) dove \( \displaystyle {n} \) e' un intero dispari >1, è minore o uguale a 24.

Se noi dimostriamo che 24 divide tutti i numeri \( \displaystyle {{n}}^{{n}}-{n} \) con \( \displaystyle {n} \) dispari >1 allora il M.C.D è 24.

Noi abbiamo che \( \displaystyle {{n}}^{{n}}-{n} \) e sicuramante divisibile per \( \displaystyle {n}-{1} \), essendo \( \displaystyle {n} \) dispari allora per \( \displaystyle {n}\gt{7} \) si ha che \( \displaystyle {8} \) divide \( \displaystyle {{n}}^{{n}}-{n} \). Non resta che dimostrare che 3 divide \( \displaystyle {{n}}^{{n}}-{n} \), modulo 3 abbiamo tre casi: se \( \displaystyle {n}\equiv{0} \) allora è certamente vero,
se \( \displaystyle {n}\equiv{1} \) allora \( \displaystyle {{n}}^{{n}}\equiv{1} \) e \( \displaystyle {{n}}^{{n}}\equiv{0} \) se \( \displaystyle {n}\equiv{2} \) allora (ricordando che \( \displaystyle {n} \) è dispari) \( \displaystyle {{n}}^{{n}}=-{2} \) e \( \displaystyle {{n}}^{{n}}-{n}\equiv{0} \).

Quindi il MCD è 24.

PS ho detto un mucchio di castronerie?

[karl]

Caro Carlo23 sei proprio un fenomeno!
Solo una cosa mi lascia un po' perplesso quando scrivi
che \( \displaystyle {{n}}^{{n}}\equiv-{2} \).Non dovrebbe essere \( \displaystyle {{n}}^{{n}}\equiv{2} \) ?
La mia dimostrazione e' ,almeno nella parte finale,un
po' diversa dalla tua ma ritengo che si tratti piu' di una
differenza formale che sostanziale.
Ciao.
Archie

[carlo23]

Solo una cosa mi lascia un po' perplesso quando scrivi
che \( \displaystyle {{n}}^{{n}}\equiv-{2} \).Non dovrebbe essere \( \displaystyle {{n}}^{{n}}\equiv{2} \) ?
La mia dimostrazione e' ,almeno nella parte finale,un
po' diversa dalla tua ma ritengo che si tratti piu' di una
differenza formale che sostanziale.
Ciao.
Archie

è facile di spiegare per scrive congruo si mette -= tra simboli di dollaro, digitando in fretta ho messo -=-
Infatti ho risposto in tutta fretta perchè stavo facendo altre cose ma non volevo non risolvere questo bellissimo problema che hai postato! Mi sembra di conoscerne uno simile, se mi ricordo lo posto...

Ciao, ciao!

[Pachito]

Scusatemi ma la dimostrazione mi sembra parzialmente errata.

Noi abbiamo che \( \displaystyle {{n}}^{{n}}-{n} \) e sicuramante divisibile per \( \displaystyle {n}-{1} \), essendo \( \displaystyle {n} \) dispari allora per \( \displaystyle {n}\gt{7} \) si ha che \( \displaystyle {8} \) divide \( \displaystyle {{n}}^{{n}}-{n} \).

Non ne vedo il motivo....

Io dimostrerei che 8 divide \( \displaystyle {{n}}^{{n}}-{n} \).
Infatti detto \( \displaystyle {n}={2}{k}+{1} \) con k=1,2,3... possiamo riscrivere \( \displaystyle {{n}}^{{n}}-{n} \) come
\( \displaystyle {\left({2}{k}+{1}\right)}\cdot{\left[{{\left({2}{k}+{1}\right)}}^{{k}}-{1}\right]}\cdot{\left[{{\left({2}{k}+{1}\right)}}^{{k}}+{1}\right]} \)
i termini \( \displaystyle {\left[{{\left({2}{k}+{1}\right)}}^{{k}}-{1}\right]} \) e \( \displaystyle {\left[{{\left({2}{k}+{1}\right)}}^{{k}}+{1}\right]} \) sono ovviamente pari per cui
basterà dimostrare che almeno uno è divisibile per 4, ma questo è immediato
sapendo che i dispari alternatamente 1 e 3 modulo 4.

Analogamente si può dimostrare che 3 divide \( \displaystyle {{n}}^{{n}}-{n} \), ma è sostanzialmente
la stessa scritta da carlo23 (che riscrivo in maniera più leggibile):
se \( \displaystyle {n}\equiv{0} \) allora è certamente vero,
se \( \displaystyle {n}\equiv{1} \) allora \( \displaystyle {{n}}^{{n}}\equiv{1} \) e dunque \( \displaystyle {{n}}^{{n}}-{n}\equiv{0} \)
se \( \displaystyle {n}\equiv{2} \) allora (ricordando che \( \displaystyle {n} \) è dispari) \( \displaystyle {{n}}^{{n}}\equiv{2} \) e dunque \( \displaystyle {{n}}^{{n}}-{n}\equiv{0} \).

Quindi il MCD è 24.

[carlo23]

Bravo, Pachito, infatti mi ero accorto anche io di aver commesso quel piccolo errore (come ho già detto avevo scritto di fretta), ma non ho detto niente tanto la dimostrazione si può anche fare senza considerare ne 8 ne 3, ma direttamente 24.