Chiusura di un connesso

[squalllionheart]

Allora devo dimostrare che la chiusura di un connesso è un connesso.Ho proceduto nel seguente modo, ho supposto che \( \displaystyle {X} \) connesso con chiusura di \( \displaystyle {\overline{{X}}} \) non connessa allora \( \displaystyle {\overline{{X}}}={A}\cup{B}\supset{X} \) ora \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {B} \) sono disgiunti e \( \displaystyle {X} \) è connesso dunque \( \displaystyle {A}\supset{X} \) o \( \displaystyle {B}\supset{X} \) ma allora \( \displaystyle {\overline{{X}}}={\overline{{A}}} \) questo contraddice che \( \displaystyle {\overline{{X}}} \) sia la chiusura... Chiusura di un connesso è connesso.
Funge?

[gugo82]

La parte dopo il "ma allora..." non mi convince.
Riformulala meglio.

[squalllionheart]

se \( \displaystyle {A}\supset{X} \) o \( \displaystyle {B}\supset \) allora o \( \displaystyle {\overline{{X}}}={A} \) o \( \displaystyle {\overline{{X}}}={B} \) ma questo contraddice l'ipotesi che \( \displaystyle {\overline{{X}}}={A}\cup{B} \), dunque \( \displaystyle {\overline{{X}}} \) connesso.
Va bene così? Grazie mille