Circonferenza nello spazio

[francyluna91]

Ciao a tutti vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto :p

Determinare tutte le circonferenza del piano \( \displaystyle {y}={0} \) tangenti all'asse z nel punto \( \displaystyle {P}{\left({0},{0},-{1}\right)} \)

Allora io avevo pensato ti intersecare il piano \( \displaystyle {y}={0} \) con il piano ortogonale all'asse z passante per P e con il piano appartenente al fascio di z e passante per P. E' corretto?
In ogni caso c'è una regola generale per determinare il centro di una circonferenza/sfera sapendo una sua tangente il punto di tangenza e un altro punto o un piano? Grazie per la risposta

[cirasa]

Con un paio di giorni di ritardo ecco qualche commento:

Allora io avevo pensato ti intersecare il piano \( \displaystyle {y}={0} \) con il piano ortogonale all'asse z passante per P e con il piano appartenente al fascio di z e passante per P. E' corretto?

Sì, ottieni la retta su cui deve essere il centro della tua circonferenza.
Ora devi determinarne il raggio. Idee?

In ogni caso c'è una regola generale per determinare il centro di una circonferenza/sfera sapendo una sua tangente il punto di tangenza e un altro punto o un piano?

Solitamente mi fido poco delle "regole generali". Sono quelle che si dimenticano prima.
Preferisco ragionare ogni volta

[apatriarca]

Dato un qualsiasi punto \( \displaystyle {C} \) su di una circonferenza di centro \( \displaystyle {O} \), se \( \displaystyle {t}{\left({C}\right)} \) sia la retta tangente alla circonferenza nel punto \( \displaystyle {C} \), il raggio vettore \( \displaystyle {r}{\left({C}\right)}={C}-{O} \) è sempre perpendicolare a \( \displaystyle {t}{\left({C}\right)} \). Nel tuo caso sia il punto che la retta tangente è fissa, per cui è possibile determinare la retta al quale appartiene il centro della circonferenza. Sappiamo infatti che la retta deve passare per il punto di tangenza \( \displaystyle {P} \), che deve essere perpendicolare all'asse \( \displaystyle {z} \) e che deve appartenere al piano \( \displaystyle {y}={0} \). La direzione della retta è allora facilmente calcolabile facendo il prodotto vettoriale tra la \( \displaystyle {k} \) (la direzione dell'asse \( \displaystyle {z} \)) e \( \displaystyle {j} \) (la normale al piano \( \displaystyle {y}={0} \)), cioè \( \displaystyle {i} \). Il centro della circonferenza appartiene cioè alla retta \( \displaystyle {O}{\left({t}\right)}={P}+{t}{i}={\left({t},{0},-{1}\right)} \). Nota che il raggio della circonferenza con centro \( \displaystyle {O}{\left({t}\right)} \) è proprio \( \displaystyle {\left|{t}\right|} \). A questo punto devi solo scrivere l'equazione della sfera di centro \( \displaystyle {O}{\left({t}\right)} \) e raggio \( \displaystyle {\left|{t}\right|} \) e metterla a sistema con l'equazione del piano \( \displaystyle {y}={0} \).

[francyluna91]

Con un paio di giorni di ritardo ecco qualche commento:

Allora io avevo pensato ti intersecare il piano \( \displaystyle {y}={0} \) con il piano ortogonale all'asse z passante per P e con il piano appartenente al fascio di z e passante per P. E' corretto?

Sì, ottieni la retta su cui deve essere il centro della tua circonferenza.
Ora devi determinarne il raggio. Idee?

In ogni caso c'è una regola generale per determinare il centro di una circonferenza/sfera sapendo una sua tangente il punto di tangenza e un altro punto o un piano?

Solitamente mi fido poco delle "regole generali". Sono quelle che si dimenticano prima.
Preferisco ragionare ogni volta

per il raggio determino la distanza del centro dal punto di tangenza giusto?

[cirasa]

Certo