Circonferenza passante per 2 punti e tangente a una retta

Messaggioda TR0COMI » 13/02/2008, 23:14

Salve a tutti. Pongo subito il quesito:

Nel seguente esercizio sono indicate le coordinate di due punti P e Q e l'equazione di una retta r.
Determina l'equazione della circonferenza passante per i due punti e tangente alla retta r.

P(5;1) Q(0;2) r:2x-3y+6=0

Visto che frequento la terza superiore, chiedo a chi sarà disposto a perdere tempo con me, se è possibile, di spiegarmi il tutto nel modo più semplice.

P.S.: Il risultato è x²+y²-4x+2y-8=0

Grazie anticipatamente.
Ultima modifica di TR0COMI il 16/02/2008, 00:42, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda amandy » 13/02/2008, 23:41

L'equazione della circonferenza contiene tre parametri (normalmente a,b,c) quindi per trovarli hai bisogno di tre condizioni da mettere a sistema.

Hai due punti appartenenti alla curva e una tangente, queste sono le tue tre condizioni:
imponi il passaggio per ciascun punto (le coordinate del punto devono risolvere l'equazione generale della circonferenza)
e come terza condizione poni la condizione di tangenza (il discriminante della equazione risolvente il sistema retta-circonferenza deve essere uguale a zero).

Se non ti basta fammi sapere fin dove arrivi.
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Messaggioda amandy » 13/02/2008, 23:43

Questo è solo uno dei tanti modi per risolvere il problema, ma ha il vantaggio di darti un approccio metodologico applicabile ad una grande generalità di casi.
andrea
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Messaggioda TR0COMI » 14/02/2008, 00:44

Ricavati a e b dopo aver imposto che la circonferenza passi per P e Q, come andare avanti?
(Amandy: hai un mio messaggio privato)
In pratica la parte che non ho ben capito è quella del delta uguale a zero, non mi è molto chiaro qual passaggio in particolare.
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Messaggioda amandy » 14/02/2008, 00:55

Se metti a sistema $x^2+y^2+ax+by+c=0$ con 2x-3y+6=0
avrai una equazione ad una sola incognita di 2°. Estrai il delta ($b^2-4ac$) ed imponilo =0. In questo modo imporrai che le soluzioni siano coincidenti e quindi che la retta sia tangente alla curva.
Questa relazione sarà la terza condizione del sistema.
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Messaggioda amandy » 14/02/2008, 01:01

Ho controllato le relazioni che hai trovato sostituendo i punti e non mi tornano.
andrea
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Messaggioda amandy » 14/02/2008, 01:02

La prima è -5a+b+c+26=0 e la seconda è 2b+c+4=0
andrea
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Messaggioda TR0COMI » 14/02/2008, 01:13

Ok, su questi risultati che hai messo adesso mi trovo.
Adesso quindi:

metto questi due risultati a sistema;
nel sistema metto anche ciò che esce dal sistema tra circonferenza e retta;

risolvendo il sistema per sostituzione trovo l'equazione della circonferenza;

C'è qualcos'altro?
(Una domanda stupida che dato l'orario spero mi perdonerai: per risolvere il sistema tra circonferenza e retta data, ricavo dalla retta nota la x e sostituisco il valore corrispondente nell'altra?)
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Messaggioda TR0COMI » 14/02/2008, 02:17

C'è nessuno??
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Messaggioda romoletto » 14/02/2008, 12:02

Secondo me il punto P deve essere P(5,1) e non P (-5,1).Per questo è sufficiente osservare che (-5,1) non
soddisfa l'equazione $x^2+y^2-4x+2y-8=0$.Inoltre si può osservare che il punto Q(0,2) appartiene alla tangente
r e ne è quindi il punto di contatto.Per questo motivo è più facile trovare il centro C della circonferenza come
intersezione tra l'asse di PQ e la perpendicolare alla retta r nel suo punto Q.Il raggio della circonferenza è poi
dato da CP ( o CQ). In questo modo,a calcoli fatti, la risposta è proprio quella indicata.
Cesare
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