Circonferenze e triangoli equilateri - SNS 1968

[elios]

"Sono dati in un piano quattro punti A, B, C, D, in modo che A, B, C e A, B, D sono vertici di triangoli equilateri distinti. Determinare tutte le circonferenze che godono della seguente proprietà: i quattro punti A, B, C, D hanno dalla circonferenza uguale distanza".

Allora, una prima soluzione intuitiva la trovo facilmente: innanzitutto nessuna delle circonferenze cercate può essere totalmente esterna o totalmente interna ad ABCD (che poi in fondo è un rombo). Le circonferenze che cerchiamo lo devono in qualche modo intersecare. La prima è quella che abbia come centro l'origine delle diagonali (che chiamiamo O), e che abbia raggio \( \displaystyle \frac{{\sqrt{{3}}+{1}}}{{4}}\cdot{l} \). In tal modo infatti la circonferenza dista dai quattro punti sempre \( \displaystyle \frac{{\sqrt{{3}}-{1}}}{{4}}\cdot{l} \).
Il problema sorge per trovare altre circonferenze, probabilmente meno intuitive.. Ho provato ad utilizzare la geometria analitica, ponendo l'origine in O, e avendo così \( \displaystyle {A}{\left({0};{l}\right)} \), \( \displaystyle {B}{\left({0}:-{l}\right)} \), \( \displaystyle {C}{\left(\frac{\sqrt{{3}}}{{2}}\cdot{l};{0}\right)} \), \( \displaystyle {D}{\left(-\frac{\sqrt{{3}}}{{2}}\cdot{l};{0}\right)} \). Chiamando \( \displaystyle {\left({a};{b}\right)} \) il centro della circonferenza di raggio \( \displaystyle {r} \). Ho imposto che i moduli delle differenze fra le distanze di ciascuno dei quattro punti dal centro della circonferenza e il raggio fossero uguali: \( \displaystyle {\left|{d}_{{A}}-{r}\right|}={\left|{d}_{{B}}-{r}\right|}={\left|{d}_{{C}}-{r}\right|}={\left|{d}_{{D}}-{r}\right|} \).
Facendo le varie combinazioni, ottengo la soluzione con centro della circonferenza nell'origine degli assi che avevo già trovato prima (conferma della sua esattezza), e poi ottengo altre relazioni tipo \( \displaystyle {l}={8}\cdot{b}-{4}\cdot\sqrt{{3}}\cdot{a} \).
Non ho svolto ancora tutti i conti per bene, perché mi sembra una metodologia troppo pesante.. C'è un modo migliore per ricavare le circonferenze?
Grazie!

[WiZaRd]

Questo l'ho già risolto una volta. Dovrebbero essere cinque o sei, ora non ricordo. Se ritrovo i fogli su cui ho scarabbochiato (difficile, ti parlo di un annetto fa) posto.

[elios]

Grazie!

[adaBTTLS]

mi viene in mente che altre due dovrebbero essere le circonferenze di centri \( \displaystyle {A} \), \( \displaystyle {B} \) (estremi della diagonale minore del rombo) e raggio \( \displaystyle \frac{{{\overline{{{A}{B}}}}}}{{2}} \).
mi meraviglierei se oltre a queste tre ce ne fossero delle altre. comunque aspetto con interesse altre soluzioni. ciao.

[francescodd]

ho visto la soluzione sul libro dei problemi delle prove precedenti. le circonferenze sono cinque. le altre due hanno i centri sulla diagonale maggiore.

[adaBTTLS]

eh già, sui circocentri dei due triangoli equilateri, e raggio come media tra il raggio del cerchio circoscritto e quello del cerchio, concentrico al precedente, passante per il quarto punto ...

\( \displaystyle {r}=\frac{\sqrt{{3}}}{{2}}{l} \)

[elios]

Sì, ho capito tutte e 5 le circonferenze.. Posso dimostrare che non ce ne sono altre?

[adaBTTLS]

mi ricorda un problema più complesso che puoi trovare qui:
http://www.matematicamente.it/forum/geo ... 31735.html

con la geometria analitica non è detto che non valga la pena tentare.
con la geometria sintetica ed il calcolo combinatorio potresti provare a considerare tutti i possibili abbinamenti dei 4 punti a 2 a 2 (6 possibilità) e a 3 a 3 (4 possibilità): potresti chiederti quali circonferenze sono equidistanti da due punti, e poi quali tra queste sono equidistanti anche dagli altri due (per ragioni si simmetria invece di 6 casi basta esaminarne 3); poi potresti chiederti quali circonferenze sono equidistanti da tre punti non allineati, e quali di esse sono equidistanti anche dal quarto punto (anche qui, per ragioni di simmetria, basta esaminare 2 casi su 4). la circonferenza che hai trovato tu per prima la dovresti ritrovare più di una volta.

aspettiamo anche di vedere se WiZaRd ritroverà i suoi appunti o se vorrà comunque intervenire, ma intanto ti consiglio di dare un'occhiata al link e di provare a ragionare con la geometria sintetica. ciao.

[WiZaRd]

Ho trovato lo scarabocchio.
La dimostrazione della non esistenza di altre circonferenze può essere fatta in modo costruttivo.
Hai quattro punti.
1) Una circonferenza che passa per un punto di essi non può avere la proprietà cercata, perché altrimenti il rombo in oggetto sarebbe ciclico: assurdo.
2) Una circonferenza che metta i quattro punti tutti in una medesima regione di piano (quindi o nel cerchio determinato dalla circonferenza o nella parte di piano esterna) nemmeno funge: i punti sarebbero equidistanti dal centro e ancora assurdo.
3) Una circonferenza che mette tre punti da una parte e uno dall'altra può funzionare: ce ne sono quattro e non ce ne sono altre perché si vede che questa configurazione comporta che il centro della circonferenza coincide con un circoncentro, quindi supporre che ne esista un'altra di questa tipologia significa supporre che esista un altro circoncentro.
4) Una circonferenza che mette due punti da una parte e due dall'altra funziona: in questo caso il centro è intersezione di assi e gli assi sono unici e se si intersecano hanno una sola intersezione, sicché supporre che ve ne sia un'altra di questo tipo va contro le precedenti unicità.

Non so quanto sono stato chiaro

[elios]

Sì è molto chiaro.. Allora provo ad usare la tua dimostrazione per sintetizzare la soluzione.