Circonferenze secanti - SNS 1980

[elios]

"Siano date due circonferenze \( \displaystyle {C} \) di centro \( \displaystyle {O} \), e \( \displaystyle {C}' \) di centro \( \displaystyle {O}' \), fra loro secanti in due punti \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {B} \). Sia \( \displaystyle {P} \) un punto di \( \displaystyle {C} \), esterno a \( \displaystyle {C}' \). Sia poi \( \displaystyle {M} \) il secondo punto di intersezione della retta \( \displaystyle {P}{A} \) con \( \displaystyle {C}' \) ed \( \displaystyle {N} \) il secondo punto di intersezione della retta \( \displaystyle {P}{B} \) con \( \displaystyle {C}' \).
Si dimostri che la retta \( \displaystyle {P}{O} \) è perpendicolare alla retta \( \displaystyle {M}{N} \)."

Sto provando ad applicare i teoremi delle secanti, a ragionare sugli angoli, ma non riesco ad uscirne.. Qual è la strada migliore? Grazie.

[giammaria]

Suppongo che ci siano strade migliori della mia, che comunque allego.
H è l'intersezione di AB con OO', Q quella di PO con MN. Salvo diversa indicazione, i gruppi di tre lettere indicano gli angoli (preferisco riservare l'uso di Mathml alle vere necessità). Ho posto BAN=BMN=u, NBM=NAM=v, ANB=AMB=x, ABM=ANM=y; osservando uno qualsiais dei triangoli di cui conosci tutti gli angoli si ricava x+y+u+v=180°.
Dal triangolo MPN si ha
APB = MPN = 180°-(x+y+x+u) = ... = v-x
Dalla simmetria e dal confronto fra angoli al centro e alla circonferenza si ottiene
AOH = AOB/2 = APB = v-x
Dal triangolo AOH
OAB = 90°-AOH = 9o°-v+x
e poichè il triangolo OPA è isoscele e la somma degli angoli in A è un angolo piatto
OPA = OAP = 180°-OAB-u-v = ... = 90°-u-x
e infine, dal triangolo PQM
PQM = 180°-OPA- (x+u) = 90°

[elios]

Sì sì ho capito, avevo fatto un bel pò di confusione con gli angoli..! Grazie!