Circonferenze tangenti - SNS 1979

[elios]

"Si considerino due circonferenze \( \displaystyle {C} \) e \( \displaystyle {C}_{{1}} \), di raggi rispettivamente \( \displaystyle {R} \) ed \( \displaystyle {R}_{{1}} \), tra loro tangenti esternamente ad un punto \( \displaystyle {P} \), ed una retta \( \displaystyle \alpha \), tangente ad entrambe, non passante per \( \displaystyle {P} \).
Siano poi:
\( \displaystyle {C}_{{2}} \), la circonferenza tangente ad \( \displaystyle \alpha \), a \( \displaystyle {C} \) ed a \( \displaystyle {C}_{{1}} \), di raggio \( \displaystyle {R}_{{2}}\gt{R}_{{1}} \);
\( \displaystyle {C}_{{3}} \), la circonferenze tangente ad \( \displaystyle \alpha \), a \( \displaystyle {C} \) ed a \( \displaystyle {C}_{{2}} \), di raggio \( \displaystyle {R}_{{3}}\gt{R}_{{2}} \);
...
\( \displaystyle {C}_{{{k}+{1}}} \), la circonferenza tangente ad \( \displaystyle \alpha \), a \( \displaystyle {C} \) ed a \( \displaystyle {C}_{{k}} \), di raggio \( \displaystyle {R}_{{{k}+{1}}}\gt{R}_{{k}} \);
...
Sapendo che \( \displaystyle {R}={100}{R}_{{1}} \), trovare, al variare dell'intero \( \displaystyle {k} \), il valore di \( \displaystyle {R}_{{k}} \), e dire se i cerchi \( \displaystyle {C}_{{k}} \) esistono per ogni \( \displaystyle {k} \); in caso contrario, trovare il massimo \( \displaystyle {k} \) per cui \( \displaystyle {C}_{{k}} \) esiste.
(Si consiglia di determinare preliminarmente la relazione che intercorre fra i raggi di tre cerchi, ciascuno dei quali tangenti esternamente agli altri due, e tutti tangenti ad una stessa retta)."

Vorrei innanzitutto partire dall'ultimo suggerimento, e quindi concentrarmi sul caso di soli tre cerchi. Considero tre cerchi di raggio \( \displaystyle {r}_{{1}} \), \( \displaystyle {r}_{{2}} \), \( \displaystyle {r}_{{3}} \) (per non confonderli ancora con i cerchi di raggio \( \displaystyle {R}_{{i}} \)) tangenti alla stessa retta e ciascuno tangente agli altri due. Traccio i segmenti che uniscono a due a due i centri dei tre cerchi e traccio per ciascun centro la perpendicolare alla retta. In questo modo ottengo tre trapezi rettangoli, di cui conosco le basi (che sono i raggi dei cerchi) e i lati obliqui (che sono la somma di due raggi alla volta).
Considero il trapezio rettangolo formato dalla congiungente fra i centri dei cerchi di raggi \( \displaystyle {r}_{{1}} \) e \( \displaystyle {r}_{{2}} \), con \( \displaystyle {r}_{{1}}\lt{r}_{{2}} \) (chiamo i centri \( \displaystyle {O}_{{1}} \) e \( \displaystyle {O}_{{2}} \)), dalle proiezioni dei due centri sulla retta (\( \displaystyle {A}_{{1}} \) e \( \displaystyle {A}_{{2}} \)) e dal segmento \( \displaystyle {A}_{{1}}{A}_{{2}} \) sulla retta. Si ha \( \displaystyle {A}_{{1}}{O}_{{1}}={r}_{{1}} \), \( \displaystyle {A}_{{2}}{O}_{{2}}={r}_{{2}} \), \( \displaystyle {O}_{{1}}{O}_{{2}}={r}_{{1}}+{r}_{{2}} \). Calcolo il coseno dell'angolo alla base (\( \displaystyle {A}_{{2}}{O}_{{2}}{O}_{{1}} \)): \( \displaystyle {\cos{{A}}}_{{2}}{O}_{{2}}{O}_{{1}}=\frac{{{r}_{{2}}-{r}_{{1}}}}{{{r}_{{1}}+{r}_{{2}}}} \). Calcolo il seno a partire dal coseno: \( \displaystyle {s}{e}{n}{A}_{{2}}{O}_{{2}}{O}_{{1}}=\frac{{{2}\sqrt{{{r}_{{1}}\cdot{r}_{{2}}}}}}{{{r}_{{1}}+{r}_{{2}}}} \). Quindi calcolo \( \displaystyle {A}_{{1}}{A}_{{2}}={O}_{{1}}{O}_{{2}}\cdot{s}{e}{n}{A}_{{2}}{O}_{{2}}{O}_{{1}}={2}\sqrt{{{r}_{{1}}\cdot{r}_{{2}}}} \).
Posso fare lo stesso tipo di ragionamento per \( \displaystyle {A}_{{1}}{A}_{{3}}={2}\sqrt{{{r}_{{1}}\cdot{r}_{{3}}}} \), e per \( \displaystyle {A}_{{2}}{A}_{{3}}={2}\sqrt{{{r}_{{2}}\cdot{r}_{{3}}}} \).
La condizione è che \( \displaystyle {A}_{{2}}{A}_{{3}}={A}_{{2}}{A}_{{1}}+{A}_{{1}}{A}_{{3}} \), cioè \( \displaystyle \sqrt{{{r}_{{1}}\cdot{r}_{{2}}}}+\sqrt{{{r}_{{1}}\cdot{r}_{{3}}}}=\sqrt{{{r}_{{2}}\cdot{r}_{{3}}}} \).
E' questa la relazione?

Grazie mille dell'aiuto.

[WiZaRd]

Bel problema! Per ora non c'ho capito na mazza, ma è un bel problema!

P.S.
Ma hai deciso di risolvere tutti i problemi posti dalla SNS dalle origini ad oggi?! Ammirevole. Complimenti!

[elios]

Allora aspetto che le mazze si svelino ai tuoi occhi..! Sì qualcosa del genere, voglio vincere un premio al coraggio!

[WiZaRd]

Allora aspetto che le mazze si svelino ai tuoi occhi..!

E beh... allora stiamo freschi