Classi di coniugio

[Reginald]

Salve a tutti, volevo proporre questo esercizio: dato G gruppo finito e \( \displaystyle {H}\lt{G} \), bisogna far vedere che
\( \displaystyle {c}{\left({G}\right)}\le{c}{\left({H}\right)}{\left[{G}:{H}\right]} \) dove con c(G) intendo il numero di classi di coniugio di G.. boh osservazioni che ho fatto io sono banalità, per ogni h in H \( \displaystyle {c}_{{H}}{\left({h}\right)} \) è contenuta in \( \displaystyle {c}_{{G}}{\left({h}\right)} \) dove \( \displaystyle {c}_{{G}}{\left({t}\right)} \) è la classe di coniugio di t in G.. ho provato anche con la formula di burnside senza successo, anche tenendo presente le relazioni tra \( \displaystyle {c}_{{G}}{\left({g}\right)} \) e l'ordine del commutatore di g in G..boh

[perplesso]

Ciao, non ti so dare una soluzione ma il problema mi incuriosisce molto. Io ho pensato solo che la relazione di coniugio \( \displaystyle {C}_{{G}} \) in G induce una partizione su ognuna delle classi laterali di H ( chiamiamole \( \displaystyle {x}_{{1}}{H},{x}_{{2}}{H},\ldots,{x}_{{t}}{H} \) )

Per esempio \( \displaystyle \frac{{{x}_{{i}}{H}}}{{{C}_{{G}}}}={\left\lbrace{\left[{x}_{{i}}{h}\right]}_{{{C}_{{G}}}}\cap{x}_{{i}}{H}:{h}\in{H}\right\rbrace} \) è una partizione del laterale \( \displaystyle {x}_{{i}}{H} \)

Ora se riuscissi a dimostrare che \( \displaystyle {\left|\frac{{{x}_{{i}}{H}}}{{{C}_{{G}}}}\right|}\le{\left|\frac{{H}}{{{C}_{{H}}}}\right|}={c}{\left({H}\right)} \) per ogni \( \displaystyle {x}_{{i}} \) (cosa che mi sembra ovviamente vera se \( \displaystyle {x}_{{i}}={1} \) ) e tenendo presente che il numero dei laterali di H in G è \( \displaystyle {\left|{G}:{H}\right|} \) Allora potrei impostare questa disuguaglianza

\( \displaystyle {c}{\left({G}\right)}\le\sum{\left|\frac{{{x}_{{i}}{H}}}{{{C}_{{G}}}}\right|}\le{\left|{G}:{H}\right|}\cdot{\left|\frac{{H}}{{{C}_{{H}}}}\right|}={\left|{G}:{H}\right|}{c}{\left({H}\right)} \)

Forse c'è una strada ancora piu facile ma non l'ho ancora trovata boh.

[Martino]

Suggerisco di applicare il lemma di conteggio delle orbite all'azione di coniugio di \( \displaystyle G \) su se stesso. L'enunciato è il seguente:

Lemma di conteggio delle orbite (Orbit-Counting Lemma). Il gruppo finito \( \displaystyle G \) agisca sull'insieme \( \displaystyle \Omega \) , e dato \( \displaystyle g \in G \) indichiamo con \( \displaystyle \text{fix}(g) \) il numero di elementi di \( \displaystyle \Omega \) fissati da \( \displaystyle g \) . Allora il numero delle orbite di questa azione è uguale a \( \displaystyle \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \text{fix}(g) \) .

Dimostrazione in spoiler:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Consideriamo il grafo i cui vertici sono gli elementi dell'unione disgiunta \( \displaystyle G \cup \Omega \) e c'è un arco tra \( \displaystyle g \in G \) e \( \displaystyle \alpha \in \Omega \) se e solo se \( \displaystyle g \) fissa \( \displaystyle \alpha \) . E' chiaro che il numero di archi di questo grafo è \( \displaystyle \sum_{g \in G} \text{fix}(g) \) . Ora sia \( \displaystyle \Delta \) un'orbita. Per il principio del conteggio il numero di archi contenenti \( \displaystyle \alpha \in \Delta \) è \( \displaystyle |\text{Stab}_G(\alpha)|=|G|/|\Delta| \) , quindi il numero totale di archi contenenti punti di \( \displaystyle \Delta \) è \( \displaystyle |\Delta| \cdot \frac{|G|}{|\Delta|} = |G| \) . Detto \( \displaystyle m \) il numero di orbite, il numero totale di archi è quindi \( \displaystyle m |G| \) , e il risultato è dimostrato. []

Tratta dal libro "Permutation groups" di Peter J. Cameron (London Mathematical Society), teorema 2.2 pagina 37.

[Reginald]

Il lemma in questione è esattamente quello che dicevo prima, la formula di burnside.. però non è chiaro come va usata.. Per quanto riguarda quanto detto da perplesso avevo provato a impostare il problema anche così però il coniugio con il fatto di moltiplicare per \( \displaystyle {x}_{{i}} \) non si comporta troppo bene, boh..

[Martino]

Prova ad applicare il lemma all'azione di coniugio di \( \displaystyle H \) su \( \displaystyle G \) (osservando che il numero di orbite di questa azione maggiora il numero di classi di coniugio di \( \displaystyle G \) ).

[Reginald]

Allora, dalla formula di Burnside si ha che il numero di classi di coniugio in G è \( \displaystyle {\frac{{{1}}}{{{\left|{G}\right|}}}}\sum_{{{g{\in}}{G}}}{\left|{C}{o}_{{G}}{\left({g}\right)}\right|} \) dove \( \displaystyle {C}{o}_{{G}}{\left({g}\right)} \) è il centralizzatore di g in G. Questo perchè per ogni g in G \( \displaystyle {\left\lbrace{k}\in{G}:{g{{k}}}{{g}}^{{-{1}}}={k}\right\rbrace}={\left\lbrace{k}\in{G}:{g{{k}}}={k}{g}\right\rbrace}={C}{o}_{{G}}{\left({g}\right)} \), il numero di orbite dell'azione di H su G per coniugio è invece \( \displaystyle {\frac{{{1}}}{{{\left|{H}\right|}}}}\sum_{{{h}\in{H}}}{\left|{C}{o}_{{G}}{\left({h}\right)}\right|} \), poichè un orbita dell'azione di H su G è contenuta in un orbita dell' azione di G su G per coniugio visto che G contiene H, si ha che \( \displaystyle {\frac{{{1}}}{{{\left|{G}\right|}}}}\sum_{{{g{\in}}{G}}}{\left|{C}{o}_{{G}}{\left({g}\right)}\right|}\le{\frac{{{1}}}{{{\left|{H}\right|}}}}\sum_{{{h}\in{H}}}{\left|{C}{o}_{{G}}{\left({h}\right)}\right|} \). Ora, quello che devo dimostrare è che \( \displaystyle {\frac{{{1}}}{{{\left|{G}\right|}}}}\sum_{{{g{\in}}{G}}}{\left|{C}{o}_{{G}}{\left({g}\right)}\right|}\le{\frac{{{1}}}{{{\left|{H}\right|}}}}\sum_{{{h}\in{H}}}{\left|{C}{o}_{{H}}{\left({h}\right)}\right|}{\left[{G}:{H}\right]} \). spero di poter far vedere a questo punto che \( \displaystyle {\left|{C}{o}_{{G}}{\left({h}\right)}\right|}\le{\left|{C}{o}_{{H}}{\left({h}\right)}\right|}{\left[{G}:{H}\right]} \), basterebbe far vedere che \( \displaystyle {\left[{C}{o}_{{G}}{\left({h}\right)}:{C}{o}_{{H}}{\left({h}\right)}\right]}\le{\left[{G}:{H}\right]} \), che però non è molto chiaro come attaccare poichè non ho nessuna relazione di inclusione tra H e \( \displaystyle {C}{o}_{{G}}{\left({h}\right)} \), l'idea del partizionare G in laterali e poi vedere \( \displaystyle {\left|{C}{o}_{{G}}{\left({h}\right)}\cap{a}{H}\right|} \) anche questa non è chiaro come farla funzionare perchè facendo i conti non commuta più nulla di quello che si sperava commutasse..

[Martino]

spero di poter far vedere a questo punto che \( \displaystyle {\left|{C}{o}_{{G}}{\left({h}\right)}\right|}\le{\left|{C}{o}_{{H}}{\left({h}\right)}\right|}{\left[{G}:{H}\right]} \)

Per questo, ricorda che la classe di coniugio di \( \displaystyle h \) in \( \displaystyle G \) ha (banalmente) più elementi della sua classe in \( \displaystyle H \) (la contiene). E usa quella cosa che si chiama principio del conteggio, o teorema orbita-stabilizzatore, o equazione delle classi, insomma il fatto che la cardinalità dell'orbita di un elemento è uguale all'indice del suo stabilizzatore.

[Reginald]

Boh, continuo a non capire come mai sia vera quella disuguaglianza..

[Martino]

Dai, un piccolo sforzo!

Riformulo in termini di formule. Chiama \( \displaystyle h^G \) la classe di coniugio di \( \displaystyle h \) in \( \displaystyle G \) . Allora ovviamente \( \displaystyle |h^G| \geq |h^H| \) . Ora ricorda che \( \displaystyle |h^G| = |G:C_G(h)| \) (dove \( \displaystyle C_G(h) \) indica il centralizzante di \( \displaystyle h \) in \( \displaystyle G \) ). Cosa ottieni se sostituisci?

[Reginald]

ah che imbecille ho capito =) scusa se ho insistito tanto..\( \displaystyle {\left|{{h}}^{{H}}\right|}\le{\left|{{h}}^{{G}}\right|} \) allora \( \displaystyle {\frac{{{\left|{G}\right|}}}{{{\left|{C}_{{G}}{\left({h}\right)}\right|}}}}\ge{\frac{{{\left|{H}\right|}}}{{{\left|{C}_{{H}}{\left({h}\right)}\right|}}}} \)..fantastico grazie per la pazienza!