Classi di coniugio

[Reginald]

Salve a tutti, volevo proporre questo esercizio: dato G gruppo finito e $H < G$, bisogna far vedere che
$c(G) \le c(H)[G:H] $ dove con c(G) intendo il numero di classi di coniugio di G.. boh osservazioni che ho fatto io sono banalità, per ogni h in H $c_H(h)$ è contenuta in $c_G(h)$ dove $c_G(t)$ è la classe di coniugio di t in G.. ho provato anche con la formula di burnside senza successo, anche tenendo presente le relazioni tra $ c_G(g)$ e l'ordine del commutatore di g in G..boh

[perplesso]

Ciao, non ti so dare una soluzione ma il problema mi incuriosisce molto. Io ho pensato solo che la relazione di coniugio $ C_G $ in G induce una partizione su ognuna delle classi laterali di H ( chiamiamole $ x_1H,x_2H,...,x_tH $ )

Per esempio $ {x_iH}/{C_G} = {[x_ih]_{C_G} \cap x_iH : h \in H} $ è una partizione del laterale $ x_iH $

Ora se riuscissi a dimostrare che $ |{x_iH}/{C_G}| <= |H/{C_H}| = c(H) $ per ogni $ x_i $ (cosa che mi sembra ovviamente vera se $ x_i = 1 $ ) e tenendo presente che il numero dei laterali di H in G è $ |G:H| $ Allora potrei impostare questa disuguaglianza

$ c(G) <= \sum |{x_iH}/{C_G}| <= |G:H| * |H/{C_H}| = |G:H|c(H) $

Forse c'è una strada ancora piu facile ma non l'ho ancora trovata boh.

[Martino]

Suggerisco di applicare il lemma di conteggio delle orbite all'azione di coniugio di \( \displaystyle G \) su se stesso. L'enunciato è il seguente:

Lemma di conteggio delle orbite (Orbit-Counting Lemma). Il gruppo finito \( \displaystyle G \) agisca sull'insieme \( \displaystyle \Omega \) , e dato \( \displaystyle g \in G \) indichiamo con \( \displaystyle \text{fix}(g) \) il numero di elementi di \( \displaystyle \Omega \) fissati da \( \displaystyle g \) . Allora il numero delle orbite di questa azione è uguale a \( \displaystyle \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \text{fix}(g) \) .

Dimostrazione in spoiler:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Consideriamo il grafo i cui vertici sono gli elementi dell'unione disgiunta \( \displaystyle G \cup \Omega \) e c'è un arco tra \( \displaystyle g \in G \) e \( \displaystyle \alpha \in \Omega \) se e solo se \( \displaystyle g \) fissa \( \displaystyle \alpha \) . E' chiaro che il numero di archi di questo grafo è \( \displaystyle \sum_{g \in G} \text{fix}(g) \) . Ora sia \( \displaystyle \Delta \) un'orbita. Per il principio del conteggio il numero di archi contenenti \( \displaystyle \alpha \in \Delta \) è \( \displaystyle |\text{Stab}_G(\alpha)|=|G|/|\Delta| \) , quindi il numero totale di archi contenenti punti di \( \displaystyle \Delta \) è \( \displaystyle |\Delta| \cdot \frac{|G|}{|\Delta|} = |G| \) . Detto \( \displaystyle m \) il numero di orbite, il numero totale di archi è quindi \( \displaystyle m |G| \) , e il risultato è dimostrato. []

Tratta dal libro "Permutation groups" di Peter J. Cameron (London Mathematical Society), teorema 2.2 pagina 37.

[Reginald]

Il lemma in questione è esattamente quello che dicevo prima, la formula di burnside.. però non è chiaro come va usata.. Per quanto riguarda quanto detto da perplesso avevo provato a impostare il problema anche così però il coniugio con il fatto di moltiplicare per $x_i$ non si comporta troppo bene, boh..

[Martino]

Prova ad applicare il lemma all'azione di coniugio di \( \displaystyle H \) su \( \displaystyle G \) (osservando che il numero di orbite di questa azione maggiora il numero di classi di coniugio di \( \displaystyle G \) ).

[Reginald]

Allora, dalla formula di Burnside si ha che il numero di classi di coniugio in G è $\frac{1}{|G|} sum_{g \in G} |Co_G (g)|$ dove $Co_G (g)$ è il centralizzatore di g in G. Questo perchè per ogni g in G ${k \in G: gkg^{-1}=k}={k \in G : gk=kg}=Co_G (g)$, il numero di orbite dell'azione di H su G per coniugio è invece $\frac{1}{|H|} sum_{h \in H} |Co_G (h)|$, poichè un orbita dell'azione di H su G è contenuta in un orbita dell' azione di G su G per coniugio visto che G contiene H, si ha che $\frac{1}{|G|} sum_{g \in G} |Co_G (g)| \le \frac{1}{|H|} sum_{h \in H} |Co_G (h)|$. Ora, quello che devo dimostrare è che $\frac{1}{|G|} sum_{g \in G} |Co_G (g)| \le \frac{1}{|H|} sum_{h \in H} |Co_H (h)|[G:H]$. spero di poter far vedere a questo punto che $|Co_G (h)| \le |Co_H (h)|[G:H]$, basterebbe far vedere che $[Co_G (h):Co_H (h)] \le [G:H]$, che però non è molto chiaro come attaccare poichè non ho nessuna relazione di inclusione tra H e $Co_G (h)$, l'idea del partizionare G in laterali e poi vedere $|Co_G (h) \cap aH|$ anche questa non è chiaro come farla funzionare perchè facendo i conti non commuta più nulla di quello che si sperava commutasse..

[Martino]

spero di poter far vedere a questo punto che $|Co_G (h)| \le |Co_H (h)|[G:H]$

Per questo, ricorda che la classe di coniugio di \( \displaystyle h \) in \( \displaystyle G \) ha (banalmente) più elementi della sua classe in \( \displaystyle H \) (la contiene). E usa quella cosa che si chiama principio del conteggio, o teorema orbita-stabilizzatore, o equazione delle classi, insomma il fatto che la cardinalità dell'orbita di un elemento è uguale all'indice del suo stabilizzatore.

[Reginald]

Boh, continuo a non capire come mai sia vera quella disuguaglianza..

[Martino]

Dai, un piccolo sforzo!

Riformulo in termini di formule. Chiama \( \displaystyle h^G \) la classe di coniugio di \( \displaystyle h \) in \( \displaystyle G \) . Allora ovviamente \( \displaystyle |h^G| \geq |h^H| \) . Ora ricorda che \( \displaystyle |h^G| = |G:C_G(h)| \) (dove \( \displaystyle C_G(h) \) indica il centralizzante di \( \displaystyle h \) in \( \displaystyle G \) ). Cosa ottieni se sostituisci?

[Reginald]

ah che imbecille ho capito =) scusa se ho insistito tanto..$|h^H|\le |h^G|$ allora $\frac{|G|}{|C_G (h)|} \ge \frac {|H|}{|C_H(h)|}$..fantastico grazie per la pazienza!