Classificazione punti critici vincolati sistema LKT

[spartans7]

Ciao a tutti.
Uno degli esercizi d'esame del corso di Ricerca Operativa richiede di trovare e classificare tutti i punti critici di una funzione, con uno o più vincoli (disequazioni).
Io ne ho risolto uno, ma non riesco a capire come classificare i punti col metodo che il mio professore vuole che noi usiamo.
Questo è l'esercizio svolto:

Trovare massimi e minimi della funzione: \( \displaystyle {f{{\left({x}_{{1}},{x}_{{2}}\right)}}}={{x}_{{1}}^{{2}}}+{4}{{\left({x}_{{2}}-{2}\right)}}^{{2}} \) sull'insieme: \( \displaystyle {\left\lbrace{x}\in{\mathbb{R}}^{{2}}:{{x}_{{1}}^{{2}}}-{x}_{{2}}\le{0}\right\rbrace}. \)

Ecco come l'ho svolto:
ho scritto la funzione Lagrangiana \( \displaystyle {L}={{x}_{{1}}^{{2}}}+{4}{{\left({x}_{{2}}-{2}\right)}}^{{2}}+\lambda{\left({{x}_{{1}}^{{2}}}-{x}_{{2}}\right)}; \)
ho scritto il sistema delle derivate della lagrangiana rispetto ad \( \displaystyle {x}_{{1}} \), \( \displaystyle {x}_{{2}} \), \( \displaystyle \lambda \): \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{2}{x}_{{1}}+{2}\lambda{x}_{{1}}={0}\\{8}{x}_{{2}}-{16}-\lambda={0}\\{{x}_{{1}}^{{2}}}-{x}_{{2}}={0}}\right.} \)
e mi risultano 4 punti stazionari (li scrivo nella forma \( \displaystyle {\left({x}_{{1}},{x}_{{2}},\lambda\right)} \)): \( \displaystyle {P}_{{1}}={\left({0},{0},-{16}\right)} \) \( \displaystyle {P}_{{2}}={\left({0},{2},{0}\right)} \) \( \displaystyle {P}_{{3}}={\left(\sqrt{{\frac{{15}}{{8}}}},\frac{{15}}{{8}},-{1}\right)} \) \( \displaystyle {P}_{{4}}={\left(-\sqrt{{\frac{{15}}{{8}}}},\frac{{15}}{{8}},-{1}\right)} \)
A questo punto, dato che la funzione è coerciva, so che esiste un minimo globale, e sostituendo i punti nella funzione scopro che è \( \displaystyle {P}_{{2}} \).
Per classificare i punti e scoprire se essi sono max (locale), min (locale) o selle, faccio la ricerca locale, sapendo che se \( \displaystyle \lambda\lt{0} \) è max/sella, se \( \displaystyle \lambda\gt{0} \) è min/sella.
Quindi ad esempio prendo il punto \( \displaystyle {P}_{{1}} \), e mi sposto nella direzione \( \displaystyle {d}{\left({0},{1}\right)} \):
\( \displaystyle {f{{\left({x}+{t}{d}\right)}}} \) \( \displaystyle = \) \( \displaystyle {f{{\left[{\left({0},{0}\right)}\right.}}} \) \( \displaystyle + \) \( \displaystyle {t}{\left({0},{1}\right)}\] \) \( \displaystyle = \) \( \displaystyle {f{{\left[{\left({0},{0}\right)}\right.}}} \) \( \displaystyle + \) \( \displaystyle {\left({0},{t}\right)}\] \) \( \displaystyle ={f{{\left({0},{t}\right)}}}={4}{{t}}^{{2}}-{16}{t}+{16}; \)
Poi faccio la stessa cosa per la direzione \( \displaystyle {d}{\left({1},{0}\right)} \):
\( \displaystyle {f{{\left({x}+{t}{d}\right)}}} \) \( \displaystyle = \) \( \displaystyle {f{{\left[{\left({0},{0}\right)}\right.}}} \) \( \displaystyle + \) \( \displaystyle {t}{\left({1},{0}\right)}\] \) \( \displaystyle = \) \( \displaystyle {f{{\left[{\left({0},{0}\right)}\right.}}} \) \( \displaystyle + \) \( \displaystyle {\left({t},{0}\right)}\] \) \( \displaystyle ={f{{\left({t},{0}\right)}}}={{t}}^{{2}}+{16}; \)

A questo punto da queste 2 funzioni in t dovrei dedurne che il punto \( \displaystyle {P}_{{1}} \) è un max locale per la \( \displaystyle {f} \) iniziale (questo lo leggo dalle soluzioni)...ma come??? Me lo spiegate un pò che deduzioni devo fare su queste benedette funzioni in t??

[spartans7]

nessuno ha idea di come si possa arrivare alla conclusione?
O utilizzate altri metodi??