Coefficienti del polinomio

da **blackdie** » 19/01/2006, 20:49

Trovare il coefficiente di \( \displaystyle {{x}}^{{3}} \) dello sviluppo del polinomio \( \displaystyle {{\left({{x}}^{{2}}-{x}+{4}\right)}}^{{7}} \)
Niente sviluppo con software matematici! :-D

da **xxalenicxx** » 19/01/2006, 22:05

\( \displaystyle {{\left({{x}}^{{2}}-{x}+{4}\right)}}^{{7}}={{\left({x}{\left({x}-{1}\right)}+{4}\right)}}^{{7}} \)

Usando la formula di newton \( \displaystyle {{\left({a}+{b}\right)}}^{{n}}={\sum_{{{i}={0}}}^{{{n}}}}{C}{\left({n},{i}\right)}\cdot{{a}}^{{{n}-{i}}}\cdot{{b}}^{{i}} \)

Ci serve il termine \( \displaystyle {{\left({x}{\left({x}-{1}\right)}\right)}}^{{2}} \) e il termine \( \displaystyle {{\left({x}{\left({x}-{1}\right)}\right)}}^{{3}} \) il coefficiente sarà rispettivamente:

\( \displaystyle {C}{\left({7},{2}\right)}\cdot{{\left({x}{\left({x}-{1}\right)}\right)}}^{{2}}\cdot{{4}}^{{5}} \) e \( \displaystyle {C}{\left({7},{3}\right)}\cdot{{\left({x}{\left({x}-{1}\right)}\right)}}^{{3}}\cdot{{4}}^{{4}} \)

A noi interessa \( \displaystyle {{x}}^{{3}} \) quindi sarà: \( \displaystyle {C}{\left({7},{2}\right)}\cdot{\left(-{2}\right)}\cdot{{4}}^{{5}}+{C}{\left({7},{3}\right)}\cdot{\left(-{1}\right)}\cdot{{4}}^{{4}}=-{{4}}^{{4}}{\left[{C}{\left({7},{2}\right)}\cdot{8}+{C}{\left({7},{3}\right)}\right]}=-{51968} \)