Combinazione lineare in base ortonormale

[manuxy84]

Qualcosa mi sfugge nel passaggio di una dimostrazione: in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) abbiamo una base ortonormale formata dai vettori \( \displaystyle {\left\lbrace{T},{N},{B}\right\rbrace} \).
I moduli dei tre vettori sono unitari.
Sappiamo da un lemma che \( \displaystyle {N}' \) è ortogonale ad \( \displaystyle {N} \) in quanto \( \displaystyle {N} \) ha modulo costante, quindi \( \displaystyle {N}' \) deve essere combinazione lineare di \( \displaystyle {T} \) e \( \displaystyle {B} \) (perchè??? perchè essendo \( \displaystyle {N}' \) ortogonale ad \( \displaystyle {N} \) risulta complanare a \( \displaystyle {T} \) e \( \displaystyle {B} \) ?)

Dato che la terna di vettori \( \displaystyle {\left\lbrace{T},{N},{B}\right\rbrace} \) è ortonormale possiamo scrivere
\( \displaystyle {N}'={\left[{N}'\cdot{T}\right]}{T}+{\left[{N}'\cdot{B}\right]}{B} \) (dove \( \displaystyle \cdot \) indica il prodotto scalare)

perchè??? Non riesco a capire...

[franced]

in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) abbiamo una base ortonormale formata dai vettori \( \displaystyle {\left\lbrace{T},{N},{B}\right\rbrace} \).
I moduli dei tre vettori sono unitari.
Sappiamo da un lemma che \( \displaystyle {N}' \) è ortogonale ad \( \displaystyle {N} \) in quanto \( \displaystyle {N} \) ha modulo costante, quindi \( \displaystyle {N}' \) deve essere combinazione lineare di \( \displaystyle {T} \) e \( \displaystyle {B} \) (perchè??? perchè essendo \( \displaystyle {N}' \) ortogonale ad \( \displaystyle {N} \) risulta complanare a \( \displaystyle {T} \) e \( \displaystyle {B} \) ?)

Prova ad immaginare questa situazione: hai i vettori \( \displaystyle {i},{j},{k} \) della base canonica (\( \displaystyle {k} \) genera l'asse \( \displaystyle {z} \)),
se \( \displaystyle {k}' \) è ortogonale a \( \displaystyle {k} \) significa che \( \displaystyle {k}' \) sta nel piano \( \displaystyle {x}{y} \), ovvero è esprimibile come combinazione
lineare di \( \displaystyle {i} \) e \( \displaystyle {j} \). Ti torna con questa visione?

Dato che la terna di vettori \( \displaystyle {\left\lbrace{T},{N},{B}\right\rbrace} \) è ortonormale possiamo scrivere
\( \displaystyle {N}'={\left[{N}'\cdot{T}\right]}{T}+{\left[{N}'\cdot{B}\right]}{B} \) (dove \( \displaystyle \cdot \) indica il prodotto scalare)

perchè??? Non riesco a capire...

Quando hai una base ortonormale, le coordinate di un vettore si ottengono proprio nel modo che hai scritto.
Dimostrazione:

\( \displaystyle {N}'={x}_{{1}}{T}+{x}_{{2}}{B} \)

moltiplico scalarmente per \( \displaystyle {T} \):

\( \displaystyle \lt{N}',{T}\gt \) \( \displaystyle = \) \( \displaystyle \lt{x}_{{1}}{T}+{x}_{{2}}{B},{T}\gt \) \( \displaystyle = \) \( \displaystyle \lt{x}_{{1}}{T},{T}\gt+\lt{x}_{{2}}{B},{T}\gt \) = \( \displaystyle {x}_{{1}}\lt{T},{T}\gt+{x}_{{2}}\lt{B},{T}\gt \) = \( \displaystyle {x}_{{1}}\cdot{1}+{x}_{{2}}\cdot{0} \)

quindi

\( \displaystyle {x}_{{1}}=\lt{N}',{T}\gt \) .

In modo del tutto analogo, moltiplicando scalarmente per \( \displaystyle {B} \), trovi \( \displaystyle {x}_{{2}}=\lt{N}',{B}\gt \) .

Spero di essere stato chiaro..

[manuxy84]

Non potevi essere più chiaro.
Grazie

[franced]

Non potevi essere più chiaro.
Grazie

Non esageriamo!