Combinazioni lineari per dimostrare equazione FASCI DI RETTE

[93felipe]

salve a tutti, mi sorge un dubbio:
il mio libro per dimostrare il fascio di rette e successivamente come arrivare alla sua dimostrazione utilizza le COMBINAZIONI LINEARI, chi può spiegarmi come si usano? cosa sono? e in che ambito della matematica si usano?

parte della dimostrazione è la seguente:

Consideriamo due rette incidenti
\( \displaystyle {r}:{a}{x}+{b}{y}+{c}={0} \)
\( \displaystyle {s}:{a}'{x}+{b}'{y}+{c}'={0} \)

con\( \displaystyle \frac{{a}}{{b}}\ne\frac{{{a}'}}{{{b}'}} \) (condizione perchè le rette siano incidenti)

sia \( \displaystyle {P}{\left({x}_{{0}};{y}_{{0}}\right)} \) il punto di intersezione delle due rette

se scriviamo una combinazione lineare delle due equazioni otteniamo:

\( \displaystyle {p}{\left({a}{x}+{b}{y}+{c}\right)}+{q}{\left({a}'{x}+{b}'{y}+{c}'\right)}={0} \) con \( \displaystyle {p},{q}\in\mathbb{R} \) e non entrambi nulli

essendo di primo grado tale equazione rappresenta infinite rette al variare di p e q e quindi rappresenta un fascio di rette.

ora il mio dubbio è:
-cosa sono le combinazioni lineari, perchè sono state usate nella dimostrazione e in che ambito della matematica si usano?
-riguardo i fasci di rette che senso ha esprimerli così quando si hanno le equazioni di fasci propri ed impropri?, ovvero
\( \displaystyle {y}-{y}_{{0}}={m}{\left({x}-{x}_{{0}}\right)} \)
\( \displaystyle {y}={m}{x}+{q} \) con \( \displaystyle {m} \) fisso e \( \displaystyle {q} \) variabile?

[walter89]

io al liceo non avevo mai incontrato le combinazioni lineari, si usano invece all'università in vari corsi ma soprattutto in algebra lineare.
Combinazione significa partire da elementi semplici per ottenerne altri più complessi, se poi la combinazione è lineare gli elementi possono soltanto essere moltiplicati per dei coefficienti e sommati tra loro senza eseguire altre operazioni (come potenze o radici...). Nel tuo caso sono state sommate le due rette moltiplicandole rispettivamente per \( \displaystyle {p} \) e\( \displaystyle {q} \)

[f.bisecco]

Genericamente ottieni una combinazione lineare quando applichi uno scalare su un vettore ottenendo un nuovo vettore proporzionale a quello di origine...Le applicazioni sono vaste in algebra lineare e non solo...
Ti faccio poi notare che la scrittura \( \displaystyle {a}{x}+{b}{y}+{c}={0} \) risulta fondamentale poiché in essa sono racchiuse tutte le tipologie di rette nel piano!
L'equazione \( \displaystyle {y}={m}{x}+{q} \) le rappresenta anch'essa tutte tranne una, ossia: \( \displaystyle {x}={h} \); lo stesso dicasi per l'altra espressione da te proposta...

[ric1321]

Anche la mia prof ci ha spiegato i fasci con le combinazioni lineari. Si partiva dalle due generatrici e moltiplicandone una per un parametro (k per esempio) e sommandole quindi:
\( \displaystyle {a}{x}+{b}{y}+{c}+{k}{\left({a}_{{1}}{x}+{b}_{{1}}{y}+{c}_{{1}}\right)}={0} \)
o per comodità puoi svolgere le moltiplicazioni e raggruppare le x e le y.
Un fascio di questo tipo può indicare sia fasci propri che impropri, a seconda di come sono le generatrici.
I due fasci notevoli sono casi particolari del fascio generale, perchè:
-proprio: \( \displaystyle {y}-{y}_{{0}}={m}{\left({x}-{x}_{{0}}\right)} \) e, se porti tutto al primo membro puoi ben vedere che è una combinazione lineare delle due rette parallele agli assi passanti per il punto. E se ti dovessero chiedere di scrivere il fascio per un certo punto dovresti usare un fascio di questo tipo
-improprio: \( \displaystyle {y}={m}{x}+{q} \) combinazione tra una retta generica e un'altra dove \( \displaystyle {a}_{{1}}={0}{e}{b}_{{1}}={0} \).