Come studiare una parabola non in forma canonica??

[giovannimulinetto]

Salve a tutti ragazzuoli del forum!
Ho un problema nello studio di coniche per l' esame di algebra lineare e geometria..il mio problema è che se mi viene chiesto di studiare un data parabola che non è in forma canonica e quindi con un' equazione del tipo \( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{2}{x}{y}+{{y}}^{{2}}-{x}-{y}={0} \) non so proprio dove metterci mano..come faccio a ricondurla alla forma canonica e trovare fuoco, direttrice, punto improprio, vertice, ecc ecc..???
In particolare potreste per favore spiegarmi, in modo chiaro, come ricondurla alla forma canonicaaa??
Grazie a tutti in anticipo!!!

[gugo82]

Beh, io comincerei notando che:

\( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{2}{x}{y}+{{y}}^{{2}}-{x}-{y}={0}\Leftrightarrow{{\left({x}-{y}\right)}}^{{2}}-{\left({x}-{y}\right)}-{2}{y}={0} \)

cosicché basta fare un'ovvia trasformazione di coordinate per ricondursi ad una forma più conveniente; fatto ciò non dovrebbe essere difficile trovare la direttrice ed il fuoco ed antitrasformare.
Per arrivare alla forma canonica bisogna fare qualche passaggino in più, ma te lo lascio volentieri...

[franced]

L'equazione è \( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{2}{x}{y}+{{y}}^{{2}}-{x}-{y}={0} \) .

E' immediato osservare che, se scambi \( \displaystyle {x} \) con \( \displaystyle {y} \), l'equazione non cambia:
la parabola è perciò simmetrica rispetto alla retta \( \displaystyle {y}={x} \).
Inoltre l'intersezione della parabola con tale retta è l'origine che, pertanto, è il vertice della parabola.

Se vuoi trovare l'equazione canonica prova con questo cambio di coordinate
(\( \displaystyle {X} \) e \( \displaystyle {Y} \) sono le "nuove" coordinate):

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}=\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}{X}+\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}{Y}\\{y}=-\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}{X}+\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}{Y}}\right.} \) ;

si trova

\( \displaystyle {Y}=\sqrt{{{2}}}{{X}}^{{2}} \) .

[giovannimulinetto]

ok vi ringrazio e credo di aver capito il concetto ma perché quando imposti il sistema per trovare le nuove coordinate ti viene che \( \displaystyle {x}=\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}{X}+\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}{Y} \) e \( \displaystyle {y}=-\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}{X}+\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}{Y} \) ??
nn capisco questo passaggio..cioè qual è la regola per determinare il corretto cambio di coordinare??
grazie ancora per la pazienza!!

[franced]

ok vi ringrazio e credo di aver capito il concetto ma perché quando imposti il sistema per trovare le nuove coordinate ti viene che \( \displaystyle {x}=\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}{X}+\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}{Y} \) e \( \displaystyle {y}=-\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}{X}+\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}{Y} \) ??
nn capisco questo passaggio..cioè qual è la regola per determinare il corretto cambio di coordinare??
grazie ancora per la pazienza!!

Visto che l'asse di simmetria della parabola è la retta \( \displaystyle {y}={x} \) e il vertice è l'origine, prendo il sistema
di riferimento centrato in \( \displaystyle {O} \) e ruotato di 45 gradi in senso orario.