Commutatività di un anello

[mistake89]

Sia $R$ un anello nel quale $x^3=x$ $AA x in R$. Provare che $R$ è commutativo.

Dannato Herstein ci sto appresso da un sacco di tempo e non mi viene nulla in mente

Ho provato a calcolare $(a+a)^3=a+a$ e ne ricavo, sfruttando la relazione che ogni elemento coincide con il proprio inverso.
Ho provato a calcolare $(a+b)^3=a+b$ ma arrivo ad un punto morto, cioè $a^2b+aba+ab^2+ba^2+bab+b^2a=0$ ma non so se possa tornarmi utile per dimostrare la commutatività.

Qualcuno che mi suggerisce un'idea?
Grazie mille!

[mistake89]

Forse la relazione $(a^3+b^3)=(a+b)(a^2+b^2-ab)$ può tornarmi utile...

[klarence]

Sia $R$ un anello nel quale $x^3=x$ $AA x in R$. Provare che $R$ è commutativo.

Ho provato a calcolare $(a+a)^3=a+a$ e ne ricavo, sfruttando la relazione che ogni elemento coincide con il proprio inverso.
Grazie mille!

Forse hai fatto qualche passaggio non lecito, siamo in un anello e non è detto che ogni elemento sia invertibile (a meno che tu non abbia dimostrato che ogni elemento è invertibile... ma a quel punto l'anello sarebbe unitario, penso che lo avrebbe detto già la traccia).

[mistake89]

Scusami volevo dire opposto, nel senso che ricavo che $a=-a$

[Martino]

Non capisco come da \( \displaystyle (a+a)^3=a+a \) sei giunto alla conclusione che \( \displaystyle a=-a \) . Per esempio se l'anello è \( \displaystyle \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \) si ha evidentemente \( \displaystyle a^3=a \) per ogni \( \displaystyle a \) ma \( \displaystyle a \neq -a \) .

Se il tuo anello fosse unitario potresti scrivere \( \displaystyle (a+1)^3 = a+1 \) ed ottenere dei risultati.

[mistake89]

se sviluppo $(a+a)^3=a+a$ ottengo $a^3+3a^3+3a^3+a^3=a+a$ sfruttando la relazione cui sopra ottengo $3a+3a=0$ da cui $3a=-3a$ a questo punto ho concluso $a=-a$, forse non devo dar per scontato che $3$ sia invertibile?

[Martino]

forse non devo dar per scontato che $3$ sia invertibile?

Eh, forse

[j18eos]

Ma essendo ogni elemento eguale al suo opposto in tale anello sarebbe \( \displaystyle \forall a\in R,\,2a=0 \) !

Da cui evinco: \( \displaystyle 3a=a=a^3 \) (senza cambiare i nomi)! Correggetemi se sbagliassi.

EDIT: Ammesse vere le premesse ma mi pare che non lo siano

[mistake89]

Aspettate mi sto perdendo
Ma il fatto che ogni elemento è uguale al suo apposto è vero o falso? Mi pare di aver capito che è una cosa falsa.

Qualunque sia la risposta cui sopra comunque, a me altre idee in proposito non sono venute!

[Martino]

Ma il fatto che ogni elemento è uguale al suo apposto è vero o falso? Mi pare di aver capito che è una cosa falsa.

Hai capito bene, è una cosa falsa: non è detto che 3 sia invertibile.

L'anello R di cui parli si suppone che sia unitario?

In tal caso prova ad esaminare le conseguenze di \( \displaystyle (a+1)^3=a+1 \) .