commutatori, derivato, risolubilità qualche esercizio

[perplesso]

1) Sia G un gruppo e \( \displaystyle {\left|{G}:{Z}{\left({G}\right)}\right|}={n} \) Provare che l'insieme dei commutatori delle coppie di elementi di G è finito e ha ordine al più \( \displaystyle {{n}}^{{2}} \)

Siano \( \displaystyle {x}_{{1}}{Z}{\left({G}\right)},\ldots,{x}_{{n}}{Z}{\left({G}\right)} \) le classi laterali determinate da Z(G). Basta far vedere che se \( \displaystyle {y}_{{i}}\in{x}_{{i}}{Z}{\left({G}\right)} \) e \( \displaystyle {y}_{{j}}\in{x}_{{j}}{Z}{\left({G}\right)} \) allora \( \displaystyle {\left[{x}_{{i}},{x}_{{j}}\right]}={\left[{y}_{{i}},{y}_{{j}}\right]} \). Infatti sappiamo che \( \displaystyle {x}_{{i}}{{y}_{{i}}^{{-{1}}}},{x}_{{j}}{{y}_{{j}}^{{-{1}}}}\in{Z}{\left({G}\right)} \) pertanto \( \displaystyle {{\left[{x}_{{i}},{x}_{{j}}\right]}}^{{-{1}}}{\left[{y}_{{i}},{y}_{{j}}\right]}={\left[{x}_{{j}},{x}_{{i}}\right]}{\left[{y}_{{i}},{y}_{{j}}\right]}={{x}_{{j}}^{{-{1}}}}{{x}_{{i}}^{{-{1}}}}{x}_{{j}}{\left({x}_{{i}}{{y}_{{i}}^{{-{1}}}}\right)}{{y}_{{j}}^{{-{1}}}}{y}_{{i}}{y}_{{j}} \) e permutando la parentesi con \( \displaystyle {x}_{{j}} \) viene \( \displaystyle {{x}_{{j}}^{{-{1}}}}{{x}_{{i}}^{{-{1}}}}{\left({x}_{{i}}{{y}_{{i}}^{{-{1}}}}\right)}{\left({x}_{{j}}{{y}_{{j}}^{{-{1}}}}\right)}{y}_{{i}}{y}_{{j}}={{x}_{{j}}^{{-{1}}}}{{y}_{{i}}^{{-{1}}}}{\left({x}_{{j}}{{y}_{{j}}^{{-{1}}}}\right)}{y}_{{i}}{y}_{{j}} \) permutando ancora le parentesi con \( \displaystyle {y}_{{i}} \) otteniamo \( \displaystyle {{x}_{{j}}^{{-{1}}}}{{y}_{{i}}^{{-{1}}}}{y}_{{i}}{\left({x}_{{j}}{{y}_{{j}}^{{-{1}}}}\right)}{y}_{{j}}={{x}_{{j}}^{{-{1}}}}{x}_{{j}}={1} \)

Va bene? Grazie.

[perplesso]

2) Sia G un gruppo il cui derivato \( \displaystyle {G}' \) ha ordine \( \displaystyle {n} \) Provare che per ogni \( \displaystyle {x}\in{G} \) La classe di coniugio di \( \displaystyle {x} \) ha ordine al più \( \displaystyle {n} \)

Consideriamo un generico coniugato \( \displaystyle {{y}}^{{-{1}}}{x}{y}={x}{\left({{x}}^{{-{1}}}{{y}}^{{-{1}}}{x}{y}\right)}={x}{\left[{x},{y}\right]} \) ma il commutatore \( \displaystyle {\left[{x},{y}\right]} \) al variare di \( \displaystyle {y} \) in G è un elemento del derivato \( \displaystyle {G}' \) che è finito di ordine \( \displaystyle {n} \). Segue la tesi

[perplesso]

3) Sia G un gruppo e H un sottogruppo di G. Provare che la chiusura normale \( \displaystyle {{H}}^{{G}}={H}{\left[{H},{G}\right]} \)

Lla chiusura \( \displaystyle {{H}}^{{G}}=\lt{{H}}^{{x}}{\mid}{x}\in{G}\gt \). Se \( \displaystyle {h}\in{H} \) allora \( \displaystyle {{x}}^{{-{1}}}{h}{x}={h}{\left({{h}}^{{-{1}}}{{x}}^{{-{1}}}{h}{x}\right)}={h}{\left[{h},{x}\right]} \) Questa è sufficiente come prova?

[perplesso]

4) Sia \( \displaystyle {G} \) un gruppo e sia \( \displaystyle {N} \) un sottogruppo normale minimale di \( \displaystyle {G} \) Provare che \( \displaystyle {N} \) è abeliano oppure \( \displaystyle {Z}{\left({N}\right)}={\left\lbrace{1}\right\rbrace} \)

Questo non lo so fare... ho solo pensato che se \( \displaystyle {G} \) è risolubile allora \( \displaystyle {N} \) dovrebbe contenere un sottogruppo \( \displaystyle {K} \) normale abeliano di \( \displaystyle {G} \). Ma siccome \( \displaystyle {N} \) è minimale allora \( \displaystyle {N}={K} \) La mia idea sarebbe di dimostrare che se \( \displaystyle {G} \) non è risolubile allora \( \displaystyle {Z}{\left({N}\right)}={\left\lbrace{1}\right\rbrace} \) ... ammesso che sia vero

[step45]

Per il 4), \( \displaystyle {Z}{\left({N}\right)}\ \) è caratteristico in \( \displaystyle {N} \), \( \displaystyle {N} \) è normale in \( \displaystyle {G} \), e quindi \( \displaystyle {Z}{\left({N}\right)} \) è normale in \( \displaystyle {G} \).

[perplesso]

... e quindi siccome \( \displaystyle {N} \) è normale minimale allora \( \displaystyle {Z}{\left({N}\right)}={N} \) oppure \( \displaystyle {Z}{\left({N}\right)}={\left\lbrace{1}\right\rbrace} \) Grazie 100000000

\( \displaystyle {Z}{\left({N}\right)} \) è caratteristico in \( \displaystyle {N} \)

Me l'ero completamente dimenticato xD

P.S. Che poi non mi spiego perchè il testo che sto usando (de giovanni - franciosi) mette quest'esercizio nella parte sui "Gruppi Risolubili" xD

[perplesso]

5) Sia G un gruppo e siano \(\displaystyle K \lhd H \) sottogruppi normali di G tali che \( \displaystyle \frac{{H}}{{K}}\le{Z}{\left(\frac{{G}}{{K}}\right)} \) Provare che qualunque sia il sottogruppo normale N di G risulta \( \displaystyle \frac{{{H}{N}}}{{{K}{N}}}\le{Z}{\left(\frac{{G}}{{{K}{N}}}\right)} \)


Svolgimento
\( \displaystyle \frac{{H}}{{K}}\le{Z}{\left(\frac{{G}}{{K}}\right)} \) se e solo se \( \displaystyle {\left[{H},{G}\right]}\le{K} \) Quindi \( \displaystyle {\left[{H}{N},{G}\right]}={\left[{H},{G}\right]}{\left[{N},{G}\right]}\le{K}{\left[{N},{G}\right]}\le{K}{\left({N}\cap{G}\right)}={K}{N} \) ovvero \( \displaystyle \frac{{{H}{N}}}{{{K}{N}}}\le{Z}{\left(\frac{{G}}{{{K}{N}}}\right)} \)

[perplesso]

6) Sia G un gruppo e siano \(\displaystyle K \lhd G \) e \(\displaystyle H \) un sottogruppo di G contenente \(\displaystyle K \) Provare che l'insieme \(\displaystyle C_G(H/K)= \{ x \in G | [h,x] \in K \forall h \in H \} \) è un sottogruppo di G e che il centralizzante \(\displaystyle C_{G/K}(H/K)={C_G(H/K)}/K \). Dimostrare inoltre che se H è normale in G allora \(\displaystyle C_G(H/K) \lhd G \) e il quoziente \(\displaystyle G/{C_G(H/K)} \) è isomorfo ad un sottogruppo di \(\displaystyle Aut(H/K) \)

Dimostro che è un sottogruppo
Siano \(\displaystyle x,y \in C_G(H/K) \) allora \(\displaystyle [h,xy^{-1}]=[h,y^{-1}][h,x]^{y^{-1}} = ([h,y]^{y^{-1}})^{-1}[h,x]^{y^{-1}} \in K \) per ogni \(\displaystyle h \in H \) pertanto \(\displaystyle xy^{-1} \in C_G(H/K) \)


Dimostro che \( \displaystyle {C}_{{\frac{{G}}{{K}}}}{\left(\frac{{H}}{{K}}\right)}=\frac{{{C}_{{G}}{\left(\frac{{H}}{{K}}\right)}}}{{K}} \)
\( \displaystyle {C}_{{\frac{{G}}{{K}}}}{\left(\frac{{H}}{{K}}\right)}={\left\lbrace{x}{K}\in\frac{{G}}{{K}}{\mid}{x}{h}{K}={h}{x}{K}\right\rbrace}={\left\lbrace{x}{K}\in\frac{{G}}{{K}}{\mid}{{h}}^{{-{1}}}{{x}}^{{-{1}}}{h}{x}\in{K}\right\rbrace} \) = \( \displaystyle {\left\lbrace{x}{K}\in\frac{{G}}{{K}}{\mid}{\left[{h},{x}\right]}\in{K}\forall{h}\in{H}\right\rbrace}={\left\lbrace{x}{K}\in\frac{{G}}{{K}}{\mid}{x}\in{C}_{{G}}{\left(\frac{{H}}{{K}}\right)}\right\rbrace}=\frac{{{C}_{{G}}{\left(\frac{{H}}{{K}}\right)}}}{{K}} \)



Dimostro che \(\displaystyle H \lhd G \rightarrow C_G(H/K) \lhd G \)
Sia \(\displaystyle x \in C_G(H/K) \) e \(\displaystyle y \in G \) allora \(\displaystyle [h, y^{-1}xy] = h^{-1}y^{-1}x^{-1}yhy^{-1}xy = y^{-1}(yh^{-1}y^{-1})x^{-1}(yhy^{-1})xy \) e ponendo \(\displaystyle yhy^{-1} = h_1 \) viene \(\displaystyle y^{-1}(h_1^{-1}x^{-1}h_1x)y = y^{-1}[h_1,x]y \in K \) pertanto \(\displaystyle C_G(H/K) \) contiene i coniugati di tutti i suoi elementi

Mi rimane da dimostrare che \(\displaystyle G/{C_G(H/K)} \) è isomorfo ad un sottogruppo di \(\displaystyle Aut(H/K) \) Siccome non riesco a costruire un monomorfismo fra questi due gruppi, avevo pensato di procedere così: cerco un omomorfismo \(\displaystyle f:G \rightarrow Aut(H/K) \) tale che \(\displaystyle kerf = C_G(H/K) \) e poi dico che \(\displaystyle G/C_G(H/K) \) è isomorfo a \(\displaystyle f(G) <= Aut(H/K) \) Oppure forse c'è una strada più semplice a cui non ho pensato ?

[step45]

Per la parte che rimane da dimostrare la tua idea è giusta, in generale questo tipo di esercizi si risolve proprio in quel modo.

[perplesso]

Grazie mille step!
Sto procedendo per prove... devo costruire una funzione \( \displaystyle {f{:}}{x}\in{G}\rightarrow\phi_{{x}}\in{A}{u}{t}{\left(\frac{{H}}{{K}}\right)} \) Ora secondo me tutto sta nel costruire l'automorfismo \( \displaystyle \phi_{{x}} \) usando il commutatore. Sono riuscito a costruirne tanti per esempio

\( \displaystyle \phi_{{x}}:{h}{K}\rightarrow{h}{\left[{h},{x}\right]}{K} \)
\( \displaystyle \phi_{{x}}:{h}{K}\rightarrow{\left[{x},{{h}}^{{-{1}}}\right]}{h}{K} \)
\( \displaystyle \phi_{{x}}:{h}{K}\rightarrow{\left[{x},{h}\right]}{h}{\left[{h},{x}\right]}{K} \) (automorfismo interno)

per tutti vale che \( \displaystyle {x}\in{C}_{{G}}{\left(\frac{{H}}{{K}}\right)}\rightarrow{\left[{h},{x}\right]}\in{K}\rightarrow\phi_{{x}}{\left({h}{K}\right)}={h}{K}\rightarrow\phi_{{x}}={i}{d}_{{\frac{{H}}{{K}}}} \) , ma c'è un problema \( \displaystyle \phi_{{{x}{y}}}\ne\phi_{{x}}\phi_{{y}} \) e quindi non riesco a costruire \( \displaystyle {f} \) come morfismo. Sono sicuro che mi sto incartando su qualche banalità