Conduttori e schermi elettrostatici

[drcave]

Salve, a tutti mi è sorto un dubbio sugli schermi elettrostatici... in presenza di cilindri coassiali.

Se io avessi tre gusci metallici cilindrici di spessore trascurabile e altezza \( \displaystyle {h} \), i cui raggi sono rispettivamente \( \displaystyle {R}_{{1}} \), \( \displaystyle {R}_{{2}} \), \( \displaystyle {R}_{{3}} \).
E sulle superfici sono depositate rispettivamente le cariche \( \displaystyle {q}_{{1}} \), \( \displaystyle {q}_{{2}} \), \( \displaystyle {q}_{{3}} \). E volessi descrivere l'andamento del campo \( \displaystyle {E} \) e del potenziale \( \displaystyle {V} \).
Visto dall'alto:




Come dovrei operare?
In due libri diversi ho trovato gli schermi elettrostatici, ma lì si supponeva che la superficie più interna di tutte fosse carica \( \displaystyle {q} \) e le altre no... le altre si sarebbero caricate per induzione completa in modo che sulla superficie interna del conduttore ci fosse carica \( \displaystyle -{q} \) e sulla superficie esterna \( \displaystyle +{q} \) in modo che all'interno dello schermo c'è \( \displaystyle {E}={0} \) e \( \displaystyle {V}={\cos{{\tan{{t}}}}}{e} \).
I quesiti a cui non so rispondere sono due:

1)In presenza di uno schermo elettrostatico (conduttore cavo carico con carica dentro la sua cavità) all'esterno della superficie che fa da schermo che campo ci sarà?

Se c'è il campo prodotto dalla carica più interna (poichè sulla superficie schermo le cariche si bilanciano) , allora lo schermo non ha senso, perchè non scherma nulla!

Se invece la carica più interna viene bilanciata dalla carica q in segno opposto che c'è sulla superficie interna dello schermo, allora fuori dallo schermo c'è il campo prodotto dalla carica sulla superficie esterna che è sempre q...conclusione si ha lo stesso campo....non fa da schermo!

Da due fonti testuali diverse sono arrivato a queste conclusioni che mi confondono. Come funziona questo schermo con carica interna?


2)Poichè tutti e tre i cilindri sono carichi cosa succede?
come si distribuiscono le cariche sulle tre superfici? e quali sono i campi nello spazio tra i cilindri e fuori? Posso usare Gauss per calcolare i campi a prescindere se è uno schermo o meno?

Grazie dell'attenzione.
Magari datemi qualche dritta che può illuminarmi che provo a lavorarci io se avete fretta, grazie.

[Maurizio Zani]

Riguardo la distribuzione delle cariche:
- per il guscio \( \displaystyle {R}{1} \): sulla superficie esterna si trova tutta la carica \( \displaystyle {q}_{{1}} \);
- per il guscio \( \displaystyle {R}{2} \): sulla superficie interna si trova una carica \( \displaystyle -{q}_{{1}} \), mentre sulla superficie esterna una carica \( \displaystyle {q}_{{A}}={q}_{{2}}-{\left(-{q}_{{1}}\right)} \);
- per il guscio \( \displaystyle {R}{3} \): sulla superficie interna si trova una carica \( \displaystyle -{q}_{{A}} \), mentre sulla superficie esterna una carica \( \displaystyle {q}_{{B}}={q}_{{3}}-{\left(-{q}_{{A}}\right)} \).

[drcave]

Grazie tante ...

Quindi se le cariche sono \( \displaystyle {q}_{{1}},{q}_{{2}}={2}{q}_{{1}},{q}_{{3}}=-{q}{1} \)

Le cariche si distribuiranno così esatto?

- per il guscio R1: sulla superficie esterna si trova tutta la carica \( \displaystyle {q}_{{1}} \);
- per il guscio R2: sulla superficie interna si trova una carica \( \displaystyle -{q}{1} \), mentre sulla superficie esterna una carica \( \displaystyle {q}_{{A}}={3}{q}_{{1}} \);
- per il guscio R3: sulla superficie interna si trova una carica \( \displaystyle -{q}_{{A}} \), mentre sulla superficie esterna una carica \( \displaystyle {q}_{{B}}=-{q}_{{1}}+{3}{q}_{{1}}={2}{q}_{{1}} \).

Il campo nello spazio è:

\( \displaystyle {r}\lt{R}_{{1}}\Rightarrow{E}={0} \) (perchè per Gauss non c'è alcuna carica interna)

\( \displaystyle {R}_{{1}}\lt{r}\lt{R}_{{2}}\Rightarrow{E}=\frac{{{3}{q}_{{1}}}}{{{2}\pi{r}\epsilon_{{0}}{h}}} \)

\( \displaystyle {R}_{{2}}\lt{r}\lt{R}_{{3}}\Rightarrow{E}=\frac{{{2}{q}_{{1}}}}{{{2}\pi{r}\epsilon_{{0}}{h}}} \)

Sono tutti e tre uscenti dalla superficie gaussiana cilindrica presa.
Se volessi farne un grafico qualitativo...è giusto questo?




E se volessi fare un grafico dell'andamento del potenziale?
All'interno del gudlio \( \displaystyle {R}_{{1}} \) dovrebbe essere costante visto che il campo è nullo... ma dopo come procede qualitativamente?
So calcolare la differemza di potenziale nello spazio tra i cilindri come l'integrale del lavoro che fa il campo per spostare una carica unitaria da \( \displaystyle {R}_{{1}} \) a \( \displaystyle {R}_{{2}} \)... ma per fare il grafico forse servono i valori assoluti della funzione potenziale... qualche consiglio?

[Maurizio Zani]

Mi sembri a buon punto: per calcolare il potenziale integra, come tu dici, il campo elettrico nelle diverse regioni di spazio, partendo da un valore (arbitrario) noto del potenziale in un punto, ad esempio ponendo \( \displaystyle {V}{\left(\infty\right)}={0} \)

[drcave]

Caspita non ci avevo pensato che il potenziale a \( \displaystyle +\infty \) si assume nullo! Grazie...

Quindi posso calcolare la differenza di potenziale tra \( \displaystyle +\infty \) e \( \displaystyle {V}_{{{R}_{{3}}}} \):

\( \displaystyle {\int_{{\infty}}^{{{R}_{{3}}}}}\frac{{{2}{q}}}{{{2}\pi{r}\epsilon_{{0}}{h}}}{d}{r}=\frac{{q}}{{\pi\epsilon_{{0}}{h}}}{\ln{{R}}}_{{3}} \)

Quindi in \( \displaystyle {R}_{{3}} \) il potenziale vale quanto trovato.

E fin qui è facile perchè fuori dai tre cilindri il campo elettrico è costante.

Nella zona tra \( \displaystyle {R}_{{2}} \) e \( \displaystyle {R}_{{3}} \) ci sono due campi diversi quindi mi nasce un dubbio, devo fregarmene e calcolare l'integrale del campo più interno da \( \displaystyle {R}_{{2}} \) a \( \displaystyle {R}_{{3}} \) visto che il campo della superficie \( \displaystyle {R}_{{3}} \) ha effetto solo allesterno secondo Gauss?


\( \displaystyle {V}_{{{R}_{{2}}}}-{V}_{{{R}_{{3}}}}={\int_{{{R}_{{2}}}}^{{{R}_{{3}}}}}\frac{{{3}{q}}}{{{2}\pi{r}\epsilon_{{0}}{h}}}{d}{r}=\frac{{{3}{q}}}{{{2}\pi\epsilon_{{0}}{h}}}{\left[{\ln{{R}}}_{{3}}-{\ln{{R}}}_{{2}}\right]}=\frac{{{3}{q}}}{{{2}\pi\epsilon_{{0}}{h}}}{\ln{{\left(\frac{{R}_{{3}}}{{R}_{{2}}}\right)}}} \)



Oppure devo fare la differenza di potenziale come segue?

\( \displaystyle {\int_{{\infty}}^{{{R}_{{2}}}}}\frac{{{3}{q}}}{{{2}\pi{r}\epsilon_{{0}}{h}}}{d}{r}=\frac{{{3}{q}}}{{{2}\pi\epsilon_{{0}}{h}}}{\ln{{R}}}_{{2}} \)

e quindi:
\( \displaystyle {V}_{{{R}_{{3}}}}-{V}_{{{R}_{{2}}}}=\frac{{q}}{{\pi\epsilon_{{0}}{h}}}{\ln{{R}}}_{{3}}-\frac{{{3}{q}}}{{{2}\pi\epsilon_{{0}}{h}}}{\ln{{R}}}_{{2}} \)

[Maurizio Zani]

...Nella zona tra \( \displaystyle {R}_{{2}} \) e \( \displaystyle {R}_{{3}} \) ci sono due campi diversi ...

No, c'è un solo campo, quello che hai calcolato nel post precedente...

[drcave]

Quindi per esempio \( \displaystyle {R}_{{1}}\lt{r}\lt{R}_{{2}}\Rightarrow{E}=\frac{{{3}{q}}}{{{2}\pi{r}\epsilon_{{0}}{h}}}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{e}{l}ì{l}{a}{d}{d}{p}è:\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)\Delta V= \int_{R_1}^{R_2} (3q)/(2\pi r\epsilon_0 h) dr = (3q)/(2\pi\epsilon_0 h) ln (R_2/R_1)

esatto?

[Maurizio Zani]

Mi sembra corretto.
Considera che se vuoi calcolare l'andamento del potenziale e non la sua differenza tra due punti
un estremo di integrazione devi lasciarlo indefinito
(nel calcolo del tuo ultimo post, al posto di \( \displaystyle {R}_{{1}} \) scriverai semplicemente \( \displaystyle {r} \) generico)

[drcave]

grazie tante davvero... ho cercato per giorni nel mazzoldi e nell' halliday, ma non ho trovato qualcosa di simile!

[Maurizio Zani]

Allora ti consiglio un buon eserciziario