Cono con carica

[minavagante]

Ciao a tutti,
un altro problemino di elettrostatica:Una carica puntiforme q si trova sul vertice di un cono retto di altezza h e base di raggio R.
a) Determinare l’espressione esatta (in funzione di h ed R) del flusso, \( \displaystyle \Phi_{{E}}{\left({h},{R}\right)} \), del campo elettrostatico prodotto dalla carica q attraverso la superficie del cono;
b) Mostrare che nel limite R >> h il flusso calcolato nel punto a) è pari a \( \displaystyle \frac{{q}}{{2}}\epsilon{0} \).



Bene, io fatto un ragionamento che evidentmente è sbagliato in quanto diffrisce dal risultato: il campo generato da una carica è \( \displaystyle {E}={\frac{{{4}\pi\epsilon{{\quad\text{or}\quad}}^{{2}}}}{{{q}}}} \). Siccome le linee di forza sono radiali, quindi il flusso attraverso la parete laterale è nullo. Ok, passiamo alla base. Ho pensato questo, di fare un integrale doppio, uno svolto sul raggio, l'altro sull'angolo da o a 360°(il cono per capirci). La variaibile r varia invece da un minimo di h ad un massimo di \( \displaystyle \sqrt{{{{h}}^{{2}}+{{R}}^{{2}}}}.\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{H}{o}{s}{c}{r}{i}{\mathtt{{o}}}{l}{a}{f{{\quad\text{or}\quad}}}\mu{l}{a}{s}{e}{g{{u}}}{e}{n}{t}{e}:\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)Phi_E(h,R)=int_0^{2pi}int_h^{sqrt{h^2+R^2}} frac{1}{4piepsilono}frac{h}{r}frac{q}{r^2}drd theta\( \displaystyle {d}{o}{v}{e}\frac{{h}}{{r}}è{i}{l}{\cos{{e}}}{n}{o}\partial{l}'{a}{n}{g{{o}}}{l}{o}{t}{r}{a}{B}{e}{d}{E}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{M}{a}{a}{m}{e}{v}{i}{e}\ne \)frac{q}{2epsilono}(frac{1}{h^2}-frac{1}{h^2+R^2})\( \displaystyle \in{\vec{{e}}}{d}{i} \)frac{q}{2epsilono}(1-frac{h}{sqrt{h^2+R^2}})$
grazie ciao a tutti

[mootyna]

I tuoi integraloni sono fantastici. devo imparare a farli. Domani provo con il tuo metodo e ti dico.
Cmq il campo elettrico di una carica è l'inverso di quello che hai scritto tu, ma credo sia solo un errore di battitura.

[Jordano]

nel risultato non c'è un meno dentro la parentesi?

a me viene \( \displaystyle \frac{{q}}{{{2}\epsilon_{{0}}}}{\left({1}-\frac{{h}}{\sqrt{{{{h}}^{{2}}+{{R}}^{{2}}}}}\right)} \)

il flusso per la parete laterale è nullo, per quanto riguarda la base non ho fatto integrali doppi, ma ho integrato suddividendo il cerchio dell'area di base in tanti anellini di area \( \displaystyle {A}={2}\pi{r}{d}{r} \), dove il flusso è uniforme. poi \( \displaystyle {E}=\frac{{q}}{{{4}\pi\epsilon_{{0}}{\left({{h}}^{{2}}+{{r}}^{{2}}\right)}}} \) e \( \displaystyle {\cos{\theta}}=\frac{{h}}{\sqrt{{{{h}}^{{2}}+{{r}}^{{2}}}}} \) quindi per ogni anello il flusso viene \( \displaystyle \varphi_{{E}}={E}{A}{\cos{\theta}} \) integrando per \( \displaystyle {r} \) che varia da \( \displaystyle {0} \) a \( \displaystyle {R} \) quindi \( \displaystyle \varphi_{{{T}{O}{T}}}={\int_{{{0}}}^{{{R}}}}\frac{{{q}{h}{2}\pi{r}}}{{{4}\pi\epsilon_{{0}}{{\left({{h}}^{{2}}+{{r}}^{{2}}\right)}}^{{\frac{{3}}{{2}}}}}}{d}{r} \)

e viene quello detto sopra ma forse ho smerdato qualcosa nei conti.

[minavagante]

ciao
intanto grazie. Si ho sbagliato di ricopiare anche il risultato c'è il meno, adesso modifico scusate. Ma senti una cosa, nel metodo che ho utlizzato io, cos'ho tralasciato?? O è completamente sbagliato???

[Cmax]

Se ti è familiare la definizione di angolo solido, puoi notare che, per le considerazioni di simmetria fatte, il flusso è proporzionale all'angolo solido sotteso dall'area di base del cilindro, cioè \( \displaystyle \Omega={2}\pi{\left({1}-{\frac{{{h}}}{{\sqrt{{{{h}}^{{2}}+{{R}}^{{2}}}}}}}\right)} \) steradianti. Poichè l'angolo solido (rispetto al centro) della superficie sferica è \( \displaystyle {4}\pi \) steradianti, il flusso sarà \( \displaystyle \Phi={\frac{{{q}}}{{\epsilon_{{0}}}}}{\frac{{\Omega}}{{{4}\pi}}}={\frac{{{q}}}{{{2}\epsilon_{{0}}}}}{\left({1}-{\frac{{{h}}}{{\sqrt{{{{h}}^{{2}}+{{R}}^{{2}}}}}}}\right)} \), senza bisogno di calcolare integrali. Il caso \( \displaystyle {h} \)<<\( \displaystyle {R} \) (ma qual è la sintassi MathML per \|| o \gg?), oltre che ricavarlo come limite, puoi dedurlo dal fatto che l'angolo solido sotteso tende a quello di una semisfera, e quindi \( \displaystyle \Omega\to{2}\pi \). Nel tuo calcolo, l'elemento di superficie su cui integrare è \( \displaystyle {r}{d}{r}{d}\theta \) (hai omesso un fattore \( \displaystyle {r} \)).

[mootyna]

Ciao a tutti!
Anche a me viene lo stesso risultato di Jordano usando un solo integrale. Non credo che il tuo metodo sia sbagliato, penso che tendi troppo ad utilizzare gli angoli anche quando non ce n'è bisogno, o meglio quando puoi semplificarti la vita ricorrendo alla trigonometria. Questo ti porta a risolvere integrali doppi e equazioni differenziali che di per sè non sono difficili, ma tendono a farti sbagliare.

[mootyna]

Cmax complimenti per l'angolo solido!!! Non ci avevo proprio pensato!

[minavagante]

grazie mille cmax...La soluzione di questo esercizio la faceva come jordano, suddivide la base in tante striscie quindi E sulla strisciolina costante. Io però non l'avevo pensata così (strano eh ): col mio procedimento è possibile calcolare ciò che vuole?? Se si, cosa manca nella mia formula?? Io avevo pensato di scrivere E, in base al raggio che varia da un minimo di h ad un massimo di \( \displaystyle \sqrt{{{{h}}^{{2}}+{{R}}^{{2}}}} \) e avevo fatto variriare l'angolo da 0 a 360°. Poi nella definizione di flusso, essendoci il coseno, l'avevo scritto come h/R. Cosa manca ancora???

[Cmax]

Il tuo procedimento è corretto, solo ti sei dimenticato il fattore \( \displaystyle {r} \) cui accennavo nel post precedente, perchè l'elemento di superficie è \( \displaystyle {r}{d}{r}{d}\theta \) e non solo \( \displaystyle {d}{r}{d}\theta \). In effetti se calcoli \( \displaystyle {\int_{{0}}^{{{2}\pi}}}{\int_{{h}}^{{\sqrt{{{{h}}^{{2}}+{{R}}^{{2}}}}}}}{\frac{{{1}}}{{{4}\pi\epsilon{o}}}}{\frac{{{h}}}{{{r}}}}{\frac{{{q}}}{{{{r}}^{{2}}}}} \)r\( \displaystyle {d}{r}{d}\theta \) (e quindi si semplifica un \( \displaystyle {r} \) a denominatore) ottieni il risultato corretto. Nota inoltre che eseguire prima l'integrazione in \( \displaystyle {d}\theta \) significa proprio ricondursi alle striscioline.

[minavagante]

E'veor mi sono completamente scrodato dell'elemento di superficie del flusso, avevo preso in considerazione solo il campo e il coseno. Ma apsetta una cosa, l'elemento \( \displaystyle {r}{d}{r}{\left.{d}{t}\right.}{h}\eta \) praticamente, è una fetta di strisciolina???