Conseguenza dei teoremi di Sylow

[PincoPallino87]

Ciao a tutti.
Non riesco a dimostrare il seguente fatto: sia $G$ un $p$-gruppo di ordine $p^n$. Se $H$ è sottogruppo massimale di $G$, allora $H$ è normale in $G$ e $[G:H]=p$. Ho i seguenti suggerimenti: dimostrare che se $H$ è un sottogruppo di $G$, allora $H\subset N(H)$, con $N(H)={g in G:gHg^-1 = H}$. Dimostrare successivamente che se $H$ è massimale in $G$, allora $H$ è normale in $G$ e che $[G:H]=p$. Potreste darmi un'idea su come partire?

[mistake89]

Un'idea veloce, poi controllane tu la correttezza.

G è un $p$-gruppo, quindi ammette inverso del th. di Lagrange, ovvero un sottogruppo ad ogni divisore dell'ordine. Ora i divisori sono del tipo $p^i$ con $i=0,...,n$. Ed hai anche che si verifica una catena nel quale ogni membro è normale nel successivo (avendo indice $p$).
Quindi il tuo gruppo, essendo massimale (per inclusione) deve avere necessariamente ordine $p^(n-1)$ da cui hai tutta la risoluzione del tuo esercizio.

[Martino]

Propongo un ragionamento. Prova per induzione su \( \displaystyle n \) .

Prendi un elemento centrale \( \displaystyle g \) di \( \displaystyle G \) di ordine \( \displaystyle p \) (che esiste perché \( \displaystyle G \) è un \( \displaystyle p \) -gruppo finito). Se il sottogruppo massimale \( \displaystyle H \) non contiene \( \displaystyle g \) allora \( \displaystyle \langle H,g \rangle = H \langle g \rangle = G \) e da qui puoi dedurre che \( \displaystyle H \) è normale di indice \( \displaystyle p \) . Se invece \( \displaystyle g \in H \) concludi per ipotesi induttiva su \( \displaystyle H/\langle g \rangle \) e \( \displaystyle G/\langle g \rangle \) .