Sto preparando un esame di analisi numerica studiando sugli appunti di una docente famosa per cambiare notazione almeno due volte a lezione, quindi vorrei che mi confermaste la correttezza di queste definizioni
Mi propongo di risolvere numericamente il problema di Cauchy \( \displaystyle {y}'{\left({t}\right)}={f{{\left({t},{y}{\left({t}\right)}\right)}}},{y}{\left({t}_{{0}}\right)}={y}_{{0}} \), con \( \displaystyle {f{:}}{\left[{t}_{{0}},{t}_{{f}}\right]}\times{\mathbb{R}}^{{d}}\to{\mathbb{R}}^{{d}} \) continua e L. nella seconda variabile. Fissata una griglia \( \displaystyle {t}_{{0}}\lt{t}_{{1}}\lt\ldots\lt{t}_{{N}}={t}_{{f}} \) di nodi equidistanti e posto \( \displaystyle {h}=\frac{{{t}_{{f{-}}}{t}_{{0}}}}{{N}} \), un generico metodo 1-step è dato da \( \displaystyle {y}_{{{n}+{1}}}={y}_{{n}}+{h}\Phi{\left({t}_{{n}},{y}_{{n}},{h},{f}\right)} \), con \( \displaystyle {n}={0},\ldots,{N}-{1} \): si dice che \( \displaystyle \Phi \) è la funzione incrementale. Pongo \( \displaystyle \sigma{\left({t}_{{n}}+{h}\right)}={y}{\left({t}_{{n}}+{h}\right)}-{y}{\left({t}_{{n}}\right)}-{h}\Phi{\left({t}_{{n}},{y}{\left({t}_{{n}}\right)},{h},{f}\right)} \). Dirò che:
- il metodo è consistente di ordine \( \displaystyle {p} \) se, al tendere di \( \displaystyle {h} \) a 0, \( \displaystyle \max_{{n}}{\left|{\left|\sigma{\left({t}_{{n}}+{h}\right)}\right|}\right|}={O}{\left({{h}}^{{{p}+{1}}}\right)} \);
- dirò che il metodo è convergente di ordine \( \displaystyle {p} \) se \( \displaystyle {\left|{\left|{y}{\left({t}_{{n}}\right)}-{y}_{{n}}\right|}\right|}={O}{\left({{h}}^{{p}}\right)} \).
Vi sembra che quanto detto sia corretto?
EDIT: \( \displaystyle {\left|{\left|\cdot\right|}\right|} \) è una norma generica su \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{d}} \).
