controllo passaggi equazione

[Susannap]

Ciao , vorrei chiedere se la seguente uguaglianza è giusta ed , in caso affermativo , perchè ?

\( \displaystyle \frac{{1}}{{{1}-\frac{{1}}{{{{2}}^{{s}}}}}} \) \( \displaystyle \cdot \) \( \displaystyle \frac{{1}}{{{1}-\frac{{1}}{{{{3}}^{{s}}}}}} \)\( \displaystyle \cdot \) \( \displaystyle \frac{{1}}{{{1}-\frac{{1}}{{{{5}}^{{s}}}}}} \) \( \displaystyle = \) \( \displaystyle \frac{{{2}}^{{s}}}{{{{2}}^{{s}}-{1}}} \) \( \displaystyle \cdot \) \( \displaystyle \frac{{{3}}^{{s}}}{{{{3}}^{{s}}-{1}}} \) \( \displaystyle \cdot \) \( \displaystyle \frac{{{5}}^{{s}}}{{{{5}}^{{s}}-{1}}} \)


in generale , posso scrivere :

\( \displaystyle \prod_{{{p}}}\frac{{1}}{{{1}-{{p}}^{{-{{1}}}}}} \)\( \displaystyle = \) \( \displaystyle \prod_{{{p}}}\frac{{{p}}^{{s}}}{{{{p}}^{{s}}-{1}}} \)

[prime_number]

\( \displaystyle \frac{{1}}{{{1}-\frac{{1}}{{x}}}}=\frac{{1}}{{\frac{{{x}-{1}}}{{x}}}}=\frac{{x}}{{{x}-{1}}} \)
E' una domanda piuttosto banale, ci hai almeno provato prima di chiedere?

Paola

[Susannap]

si ma non sapevo raccapezzarmi

mi sono fermata (ed arenata) a questo punto \( \displaystyle \frac{{1}}{{{1}-\frac{{1}}{{{{2}}^{{s}}}}}} \) \( \displaystyle = \) \( \displaystyle \frac{{1}}{{\frac{{{{2}}^{{s}}-{1}}}{{{2}}^{{s}}}}} \)

quindi quei passaggi sono ok ?


Grazie Paola...


p.s. : Ho trovato quel passaggio leggendo la storia della funzione zeta in relazione ad Eulero .

[retrocomputer]

mi sono fermata (ed arenata) a questo punto \( \displaystyle \frac{{1}}{{{1}-\frac{{1}}{{{{2}}^{{s}}}}}} \) \( \displaystyle = \) \( \displaystyle \frac{{1}}{{\frac{{{{2}}^{{s}}-{1}}}{{{2}}^{{s}}}}} \)

quindi quei passaggi sono ok ?

Sì, usi la regola \( \displaystyle \frac{{1}}{{\frac{{a}}{{b}}}}=\frac{{b}}{{a}} \), assicurandoti naturalmente che sia \( \displaystyle {a} \) che \( \displaystyle {b} \) siano diversi da zero

[Susannap]

grazie retro


p.s. : ...finalmente alice adsl ri-funziona