Convergenza Gauss-Saidel

[squalllionheart]

Ho un dubbio su una parte di un esercizio vorrei una vostra conferma o smentita:
Sia \( \displaystyle {B}={\left(\matrix{{0}&{0}&{0}&\beta\\{0}&{0}&{\beta}^{{2}}&{0}\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\{\beta}^{{n}}&{0}&\ldots&{0}}\right)} \) sostanzialmente è una matrice che ha le potenze di \( \displaystyle \beta \) sull'antidiagonale.
La proff malefica chiede di dire per queli valori di \( \displaystyle \beta \) il metodo applicato al sistema \( \displaystyle {B}{x}={b} \) converge.

Osservandola a prima vista non mi viene in mente nulla dato che:
\( \displaystyle {B} \) NON è DIAGONALE DOMINANTE IN SENSO STRETTO
\( \displaystyle {B} \) NON è DIAGONALE DOMINANTE E IRRIDUCIBILE
\( \displaystyle {B} \) NON è NE SIMMETRICA E QUINDI IL TEOREMA SE LA MATRICE E SIMMETRICA E DEFINITA POSITIVA ALLORA GS CONVERGE...
PERO' fare i calcoli calocolarsi la matrice di iterazione \( \displaystyle {G}{S}={{\left({D}-{B}\right)}}^{{-{{1}}}}{C} \) è troppo lungo e credo sia la strada sbagliata.

Riguardando la matrice faccio il secondo ragionamento:

\( \displaystyle {B}={\left(\matrix{{0}&{0}&{0}&\beta\\{0}&{0}&{\beta}^{{2}}&{0}\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\{\beta}^{{n}}&{0}&\ldots&{0}}\right)} \)

allora

\( \displaystyle {{B}}^{{T}}={\left(\matrix{\beta&{0}&\ldots&{0}\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\{0}&{0}&{\beta}^{{{n}-{1}}}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{\beta}^{{n}}}\right)} \)

a questo punto dico che è diagonale dominante in senso stretto quindi GS converge per \( \displaystyle {{B}}^{{T}} \) ma se converge per \( \displaystyle {{B}}^{{T}} \) significa che ha autovalori minori strettamente di 1. A questo punto mi ricordo che gli autovalori della trasposta sono uguali a quelli della matrice di partenza.
Segue che anche gli autovalori di GS per B saranno minori di 1 segue GS converge sempre... per \( \displaystyle \beta\gt{0} \)
Io credo che vada bene, voi che dite?

[orazioster]

no! è
la matrice di iterazione \( \displaystyle {C}_{{{G}{S}}}=-{{\left({D}+{L}\right)}}^{{-{{1}}}}{U} \) che dev'essere una contrazione, non \( \displaystyle {B} \) o \( \displaystyle {{B}}^{{T}} \).

In generale: nulla ti impedisce di cambiare posto alle colonne/righe della matrice
dei coefficienti, purchè
tu faccia lo stesso cambiando, rispettivamente (N.B.!) le righe del vettore incognite/le righe del vettore termini noti.

per il metodo di Gauss-Siedel, posso
farlo solo in modo che \( \displaystyle {\left({D}+{L}\right)} \) non sia singolare, e che \( \displaystyle {U} \) non sia nulla.

Posso farlo con quella matrice? altrimenti il metodo semplicemente non è applicabile.

[squalllionheart]

Ma in questo caso \( \displaystyle {D}+{L} \) io dico \( \displaystyle {D}-{B} \) è non singolare per qualunque \( \displaystyle \beta \) diverso da zero, questo basta?
Illuminami che sono in crisi...

[orazioster]

No! \( \displaystyle {D} \) è la diagonale, \( \displaystyle {L} \) ("lower") è
la "parte di sotto" -non
hai varie colonne di zeri?

Non ci ho controllato ora, se, appunto, scambiando righe e/o colonne
di \( \displaystyle {B} \) si ottenga una matrice in cui \( \displaystyle {\left({D}+{L}\right)} \) è non singolare, ed \( \displaystyle {U} \) ("upper", appunto) non nulla.