Convergenza metodo di Newton

[holly_golightly]

Buon pomeriggio a tutti!

Sto considerando l'equazione non lineare logx + sinx = 0 che ammette un'unica radice x* in (0 1). Devo stabilire se il metodo di Newton converge e devo indicare uno o più punti iniziali che garantiscono la convergenza e l'ordine di convergenza.

Per applicare il metodo di Newton devo considerare una radice n compresa in (0 1). Fisso \( \displaystyle \partial\in{\left({n}{1}\right)} \). L'intervallo [0 \( \displaystyle \partial \)] deve soddisfare le seguenti caratteristiche:

- f(0) x f(\( \displaystyle \partial \)) <0
- segno di f'(x) costante per ogni x in (0 \( \displaystyle \partial \))
- segno di f''(x) constante per ogni x in (0 \( \displaystyle \partial \))

Preso un punto iniziale x0 in questo intervallo tale da soddisfare f(x0) x f''(x0) > 0 esso è un estremo di Fourier e il metodo di Newton converge.

Qualcuno potrebbe dirmi come si traduce l'enunciato del metodo nell'equazione che sto considerando?

Ringrazio anticipatamente per l'aiuto!

[orazioster]

La condizione sulla derivata seconda, quindi
per l'assunzione dell'estremo di Fourier, è SUFFICIENTE; non necessaria!

Necessaria è l'esistenza della derivata prima, ed il suo non annullarsi (costanza del segno).

bene!
nel tuo caso -qual è \( \displaystyle {f{'}}{\left({x}\right)} \)?
E com è \( \displaystyle {f{{''}}}{\left({x}\right)} \)?

Inoltre: più restringi l'intervallo in cui la radice è compresa, meglio è.
Perciò -già sai che \( \displaystyle {0}\lt\partial\lt{1} \).

Può aiutarti considerare \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={0} \) come \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={h}{\left({x}\right)} \) e graficare -qualitativamente,
\( \displaystyle {g} \) ed \( \displaystyle {h} \), considerando poi un intervallo che contenga l'ascissa della loro intersezione.

Poi, puoi procedere computando i valori di \( \displaystyle {f} \) agli estremi che in prima approssimazione avevi considerato -li
controlli così, e vedi se puoi ulteriormane restringere -stando però
attenti a che l'approssimazione dei calcoli non ci inganni.

nel tuo caso, comunque, puoi prendere un estremo di Fourier...

[holly_golightly]

Ti ringrazio! Posso considerare la funzione di iterazione:

\( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={x}-{f{{\left({x}\right)}}}\//{f{'}}{\left({x}\right)} \)

dove f'(x) = 1 / x + cosx
f''(x) = -x^-2 -sinx

e calcolare il valore di g(x) nei punti x0 = 1 e x0 = 0? Sostituendo 0 e 1 nella funzione g(x) posso dire che se il risultato non appartiene a (0 1) allora la funzione non converge?

Grazie!