Coordinate intere

[xXStephXx]

Dati 9 punti a coordinate intere nello spazio, dimostrare che ne esistono almeno 2 per i quali il punto medio del segmento che li congiunge è anch'esso a coordinate intere.

[Pappappero]

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Il punto medio tra due punti \( \displaystyle {p}={\left({x}_{{1}},{y}_{{1}},{z}_{{1}}\right)} \) e \( \displaystyle {q}={\left({x}_{{2}},{y}_{{2}},{z}_{{2}}\right)} \) è dato da \( \displaystyle {m}={\left({\frac{{{x}_{{1}}+{x}_{{2}}}}{{{2}}}},{\frac{{{y}_{{1}}+{y}_{{2}}}}{{{2}}}},{\frac{{{z}_{{1}}+{z}_{{2}}}}{{{2}}}}\right)} \). Affinché il punto medio sia a coordinate intere è necessario che i due punti le coordinate siano dello stesso tipo "pari/dipari".

In particolare, su tre coordinate, ci sono 8 possibili combinazioni di coordinate pari/dispari. Il nono punto deve per forza avere lo stesso tipo pari/dipari di uno degli altri otto, e perciò il punto medio tra il nono punto e quello con il suo stesso tipo pari/dispari avrà coordinate intere.

Ammesso che sia comprensibile cosa intendo per tipo pari/dispari, dovremmo essere se non altro vicini alla soluzione.

[xXStephXx]

Sisi va bene come dimostrazione Magari puoi scrivere che le coordinate devono avere la stessa parità, ma credo si capisca bene anche così.

[Gi8]

Rilancio con la seguente richiesta:

fissato \( \displaystyle {n}\in\mathbb{N} \), qual è il numero minimo di punti distinti in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}} \), tutti a coordinate intere,
tali che certamente esistono almeno due di questi punti con punto medio a coordinate tutte intere?

edit: ho notato che c'era un errore. ho corretto. chiedo scusa a Freddy Kruger

[Pappappero]

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ragionando come prima dovrebbero essere \( \displaystyle {{2}}^{{n}}+{1} \).

[FreddyKruger]

In realtà io non so cos'è \( \displaystyle {{R}}^{{{n}}} \), prima avevo interpretato in un certo modo ma poi avevo cancellato il messaggio perchè ero piuttosto sicuro di aver sbagliato,ne approfitto per chiedere....cos'è esattamente \( \displaystyle {{R}}^{{{n}}} \)? (so anche che qui non l'ho scritto bene )

[albertobosia]

\(\mathbb R\) è la retta dei numeri reali
\(\mathbb R^2\) è il piano dei punti a \(2\) coordinate reali \((x,y)\)
\(\mathbb R^3\) è lo spazio dei punti a \(3\) coordinate reali \((x,y,z)\)
\(\mathbb R^4\) è lo spazio dei punti a \(4\) coordinate reali \((x,y,z,w)\)
...
\(\mathbb R^n\) è lo spazio dei punti a \(n\) coordinate reali \((x_0,x_1,...,x_n)\)

diventano un po' difficili da visualizzare, ma il concetto è sempre quello