Corde uguali su circonferenze che si intersecano - SNS 1975

[elios]

"Due circonferenze si intersecano e sia A uno dei punti di intersezione. Condurre per A le rette che formano con le due circonferenze corde uguali."

Io l'ho impostato in questo modo: innanzitutto chiamo R il raggio della circonferenza maggiore con centro in O' e r il raggio della circonferenza minore con centro in O''. Chiamo B il punto di intersezione della retta che devo condurre con la circonferenza maggiore e C il punto di intersezione con la circonferenza minore, e chiamo \( \displaystyle \alpha \) l'angolo \( \displaystyle {B}{O}'{A} \) e \( \displaystyle \beta \) l'angolo \( \displaystyle {A}{O}{''}{C} \). Dovendo essere \( \displaystyle {B}{A}={A}{C} \), applicando il teorema della corda ottengo
\( \displaystyle {2}{R}{\sin{\alpha}}={2}{r}{\sin{\beta}} \) e quindi \( \displaystyle \frac{{\sin{\alpha}}}{{\sin{\beta}}}=\frac{{r}}{{R}} \).
Chiamando \( \displaystyle {H} \) il secondo punto di intersezione delle due circonferenze oltre A, e chiamando \( \displaystyle \gamma \) l'angolo \( \displaystyle {A}{O}'{H} \) e \( \displaystyle \partial \) l'angolo \( \displaystyle {A}{O}{''}{H} \), posso scrivere
\( \displaystyle {A}{H}={2}{R}{\sin{\gamma}}={2}{r}{\sin{\partial}} \), da cui \( \displaystyle \frac{{\sin{\gamma}}}{{\sin{\partial}}}=\frac{{r}}{{R}} \)
Poi, avendo 4 triangoli isosceli di cui conosco gli angoli al vertice, posso trovare le espressioni per gli angoli alla base e notare che, essendo B A C allineati, allora \( \displaystyle {B}{A}{O}'+{O}'{A}{H}+{H}{A}{O}{''}+{O}{''}{A}{C}={2}\pi \), da cui \( \displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\partial={2}\pi \).
Quindi ho abbastanza informazioni, perché ho le due equazioni:
\( \displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\partial={2}\pi \)
\( \displaystyle \frac{{\sin{\alpha}}}{{\sin{\beta}}}=\frac{{\sin{\gamma}}}{{\sin{\partial}}}=\frac{{r}}{{R}} \)
ma non so come ricavare effettivamente quali siano le rette da tracciare..

Qualcuno può aiutarmi? Grazie mille.

[giammaria]

I caso: le due corde sono dalla stessa parte rispetto ad A.
Le due circonferenze passano per l'altro estremo della corda: la soluzione è quindi la retta passante per le due intersezioni.
II caso: le due corde sono da parte opposta
Detti P e Q i punti medi delle corde e R e S i centri delle due circonferenze, PR e QS sono parallele perché perpendicolari alla stessa retta. Per A traccio la loro parallela, che incontra RS in M; poiché A è il punto medio di PQ, per il teorema di Talete M è medio fra R e S. Di qui la soluzione: detto M il punto medio fra i centri, la retta cercata è la perpendicolare in A ad AM.

Noto che quando non riesci a risolvere un problema per via elementare ricorri a metodi “proibiti” come Geogebra o la trigonometria e non posso certo rimproverarti perché lo faccio anch'io: è più facile trovare la soluzione elementare quando si sa dove puntare. Ti suggerisco di aiutarti anche con l'analitica: è insuperabile nel trovare luoghi geometrici e in questo problema attirava l'attenzione su AM.

[elios]

Grazie mille del suggerimento, forse dovrei arrendermi meno facilmente e tentare di più con le vie elementari prima di passare ai calcolacci..
Grazie ancora..