Corse di Formula1

[Quinzio]

Due vetture corrono su una pista di Formula1.
Le due vetture vanno a velocita' costante, rispettivamente 340km/h e 330 km/h.

All'istante iniziale sono affiancate, ma si supponga che la lunghezza della pista che effettivamente percorrono sia la stessa, cioe' non ci sono differenze per il fatto che una vettura e' poco piu' sulla parte esterna dell'altra per un po' di tempo.
Si supponga che tutto l'esperimento e' del tutto ideale, ovvero vetture puntiformi, niente attriti, ecc..

Si chiede dopo quanti giri di pista avviene il doppiaggio (cioe' quando la vettura piu' veloce raggiunge da dietro quella piu' lenta).

[@melia]

Bisognerebbe sapere quanto è lunga la pista.
Comunque detta \( \displaystyle {p} \) la lunghezza della pista e \( \displaystyle {n} \) il numero di giri di ciascun pilota, il secondo percorre \( \displaystyle {n}\cdot{p}={t}\cdot{v}_{{2}} \) e nello stesso tempo \( \displaystyle {t} \) il primo percorre \( \displaystyle {\left({n}+{1}\right)}\cdot{p}={t}\cdot{v}_{{1}} \), mettendo a sistema le due equazioni e facendo la differenza si ottiene \( \displaystyle {p}={t}{v}_{{2}}-{t}{v}_{{1}} \) da cui \( \displaystyle {t}=\frac{{p}}{{{v}_{{1}}-{v}_{{2}}}} \)

[Quinzio]

Bisognerebbe sapere quanto è lunga la pista.
Comunque detta \( \displaystyle {p} \) la lunghezza della pista e \( \displaystyle {n} \) il numero di giri di ciascun pilota, il secondo percorre \( \displaystyle {n}\cdot{p}={t}\cdot{v}_{{2}} \) e nello stesso tempo \( \displaystyle {t} \) il primo percorre \( \displaystyle {\left({n}+{1}\right)}\cdot{p}={t}\cdot{v}_{{1}} \), mettendo a sistema le due equazioni e facendo la differenza si ottiene \( \displaystyle {p}={t}{v}_{{2}}-{t}{v}_{{1}} \) da cui \( \displaystyle {t}=\frac{{p}}{{{v}_{{1}}-{v}_{{2}}}} \)

Ciao Amelia,
alla tua soluzione rispondo con un "fuoco" , nel senso che e' assolutamente corretta, pero' ci si aspettava qualcosa di leggermente diverso.
Do' il tempo a qualcun'altro di rifletterci, poi mettero' la soluzione.

[Quinzio]

Metto qui la soluzione, dentro allo spoiler.
Ciao a tutti.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Come e' stato detto giustamente, non abbiamo la lunghezza della pista.
Se pero' guardiamo bene l'enunciato del problema, vediamo che ci viene chiesto il numero di giri, in cui si effettua il doppiaggio, non il tempo impiegato.
Abbstanza sorprendentemente, alla fine di scopre che la lunghezza della pista e' ininfluente sul numero di giri in cui avviene il doppiaggio


Chiamiamo SA, VA lo spazio percorso da A e la sua velocita', rispettivamente.
Chiamiamo SB, VB lo spazio percorso da B e la sua velocita', rispettivamente.

Lo spazio percorso da A e B possiamo scriverlo come

\( \displaystyle {S}{A}={V}{A}\cdot{t} \)
\( \displaystyle {S}{B}={V}{B}\cdot{t} \)


Ora, chiediamoci cosa significa il doppiaggio.
Significa che A e B tornano ad essere nella stessa posizione relativamente alla pista.
E quindi che il numero di giri di pista di A e' superiore di 1 al numero di giri di pista di B.
Cioe':

\( \displaystyle {G}{A}={G}{B}+{1} \)

Se chiamiamo P la lunghezza della pista, il numero di giri di pista compiuto da A e B lo scriviamo come

\( \displaystyle {G}{A}={V}{A}\cdot\frac{{t}}{{P}} \)
\( \displaystyle {G}{B}={V}{B}\cdot\frac{{t}}{{P}} \)

Ovvero dividendo i membri tra di loro...

\( \displaystyle \frac{{{G}{A}}}{{{G}{B}}}=\frac{{{V}{A}}}{{{V}{B}}} \)

\( \displaystyle \frac{{{G}{A}}}{{{G}{A}-{1}}}=\frac{{{V}{A}}}{{{V}{B}}} \)

Risolvendo rispetto a GA

\( \displaystyle {\left({G}{A}\right)}=\frac{{{V}{A}}}{{{V}{A}-{V}{B}}} \)

Ora se
\( \displaystyle {V}{A}={340}\frac{{{K}{m}}}{{h}} \)

\( \displaystyle {V}{B}={330}\frac{{{K}{m}}}{{h}} \)

\( \displaystyle {G}{A}={34} \)

Cioe' il doppiaggio avviene dopo 34 giri di pista di A, indipendentemente dalla lunghezza della pista.
B ovviamente ha fatto 33 giri.
Chiaramente, se la pista e' lunga, il doppiaggio richiedera' piu' tempo rispetto a una pista corta.

[@melia]

Hai ragione, avevo letto la domanda distrattamente e ho pensato fosse richiesto il tempo.

[mork_1]

Sarebbe bastato che @melia avesse sostituito il tempo trovato in una qualsiasi delle due equazioni impostate per ricavare n.