Coseni degli angoli di un triangolo - SNS 1982

[elios]

"Un triangolo ha gli angoli \( \displaystyle \alpha \), \( \displaystyle \beta \), \( \displaystyle \gamma \) che verificano la condizione
\( \displaystyle {\cos{{\left({3}\alpha\right)}}}+{\cos{{\left({3}\beta\right)}}}+{\cos{{\left({3}\gamma\right)}}}={1} \).
Si provi che uno di tali angoli vale \( \displaystyle \frac{{2}}{{3}}\pi \)."

Ho provato in mille modi algebrici di risolvere quest'equazione, ma non riesco a trovare il modo giusto. Sapreste aiutarmi a cercare la strada per risolverlo? Grazie mille.

[Seneca]

"Un triangolo ha gli angoli \( \displaystyle \alpha \), \( \displaystyle \beta \), \( \displaystyle \gamma \) che verificano la condizione
\( \displaystyle {\cos{{\left({3}\alpha\right)}}}+{\cos{{\left({3}\beta\right)}}}+{\cos{{\left({3}\gamma\right)}}}={1} \).
Si provi che uno di tali angoli vale \( \displaystyle \frac{{2}}{{3}}\pi \)."

Ho provato in mille modi algebrici di risolvere quest'equazione, ma non riesco a trovare il modo giusto. Sapreste aiutarmi a cercare la strada per risolverlo? Grazie mille.

Forse usando le proprietà degli archi associati...

\( \displaystyle {\cos{{\left({3}\alpha\right)}}}+{\cos{{\left({3}\beta\right)}}}+{\cos{{\left({3}\gamma\right)}}}={1} \)

\( \displaystyle \alpha+\beta+\gamma=\pi \)

\( \displaystyle {3}\alpha={3}\pi-{3}{\left(\beta+\gamma\right)} \)

\( \displaystyle {\cos{{\left({3}\alpha\right)}}}={\cos{{\left[{3}\pi-{3}{\left(\beta+\gamma\right)}\right]}}}=-{\cos{{\left({3}\beta+{3}\gamma\right)}}} \)

E poi applicando le formule di addizione. Il mio è solo un suggerimento; provaci.

...

[Seneca]

E poi applicando le formule di addizione....

Andando avanti con la dimostrazione ho visto che è sconveniente usare le formule di addizione.

[elios]

Sì ci ho provato e viene fuori una cosa molto complicata..

[Seneca]

Sì ci ho provato e viene fuori una cosa molto complicata..

Io l'ho risolto. Vediamo di procedere per passi: ricordi le formule di prostaferesi?

Dopo aver sostituito nella tua condizione di partenza \( \displaystyle {\cos{{\left({3}\alpha\right)}}}=-{\cos{{\left({3}\gamma+{3}\beta\right)}}} \), devi trasformare \( \displaystyle {\cos{{\left({3}\beta\right)}}}+{\cos{{\left({3}\gamma\right)}}} \) in un prodotto.

Dopodiché ricordi che, dalle formule di bisezione, vale l'identità: \( \displaystyle {\cos{{\left({x}\right)}}}-{1}={2}{{\cos}}^{{2}}{\left(\frac{{x}}{{2}}\right)} \)

Non è molto macchinoso; il tutto si riduce a risolvere un'equazione del tipo \( \displaystyle {\cos{{\left({z}\right)}}}={\cos{{\left({y}\right)}}} \).

Dimmi se riesci a concludere così.

[elios]

Grazie mille della traccia (più che traccia!) della risoluzione:
\( \displaystyle {\cos{{\left({3}\beta\right)}}}+{\cos{{\left({3}\gamma\right)}}}-{\cos{{\left({3}\beta+{3}\gamma\right)}}}={1} \), che diventa
\( \displaystyle {2}{\cos{{\left(\frac{{{3}\beta+{3}\gamma}}{{2}}\right)}}}\cdot{\cos{{\left(\frac{{{3}\beta-{3}\gamma}}{{2}}\right)}}}={\cos{{\left({3}\beta+{3}\gamma\right)}}}+{1} \)
Ricordando che \( \displaystyle {\cos{{x}}}+{1}={2}{{\cos}}^{{2}}{\left(\frac{{x}}{{2}}\right)} \) (credo che tu abbia sbagliato il segno prima), si ha
\( \displaystyle {2}{\cos{{\left(\frac{{{3}\beta+{3}\gamma}}{{2}}\right)}}}\cdot{\cos{{\left(\frac{{{3}\beta-{3}\gamma}}{{2}}\right)}}}={2}{{\cos}}^{{2}}{\left(\frac{{{3}\beta+{3}\gamma}}{{2}}\right)} \)
che diventa \( \displaystyle {\cos{{\left(\frac{{{3}\beta-{3}\gamma}}{{2}}\right)}}}={\cos{{\left(\frac{{{3}\beta+{3}\gamma}}{{2}}\right)}}} \).
Ora mi incarto nella soluzione..
Questa equazione ha due possibili risultati:
1) \( \displaystyle \frac{{{3}\beta-{3}\alpha}}{{2}}=\frac{{{3}\beta+{3}\alpha}}{{2}} \), che ha come soluzione \( \displaystyle \gamma={0} \) che è esclusa dall'ipotesi che \( \displaystyle \gamma \) sia l'angolo di un triangolo
2) \( \displaystyle \frac{{{3}\beta-{3}\gamma}}{{2}}=-\frac{{{3}\beta+{3}\gamma}}{{2}} \), che ha come soluzione \( \displaystyle \beta={0} \) che è esclusa.

Cosa sto sbagliando?

[Seneca]

Grazie mille della traccia (più che traccia!) della risoluzione:
\( \displaystyle {\cos{{\left({3}\beta\right)}}}+{\cos{{\left({3}\gamma\right)}}}-{\cos{{\left({3}\beta+{3}\gamma\right)}}}={1} \), che diventa
\( \displaystyle {2}{\cos{{\left(\frac{{{3}\beta+{3}\gamma}}{{2}}\right)}}}\cdot{\cos{{\left(\frac{{{3}\beta-{3}\gamma}}{{2}}\right)}}}={\cos{{\left({3}\beta+{3}\gamma\right)}}}+{1} \)
Ricordando che \( \displaystyle {\cos{{x}}}+{1}={2}{{\cos}}^{{2}}{\left(\frac{{x}}{{2}}\right)} \) (credo che tu abbia sbagliato il segno prima), si ha
\( \displaystyle {2}{\cos{{\left(\frac{{{3}\beta+{3}\gamma}}{{2}}\right)}}}\cdot{\cos{{\left(\frac{{{3}\beta-{3}\gamma}}{{2}}\right)}}}={2}{{\cos}}^{{2}}{\left(\frac{{{3}\beta+{3}\gamma}}{{2}}\right)} \)
che diventa \( \displaystyle {\cos{{\left(\frac{{{3}\beta-{3}\gamma}}{{2}}\right)}}}={\cos{{\left(\frac{{{3}\beta+{3}\gamma}}{{2}}\right)}}} \).
Ora mi incarto nella soluzione..
Questa equazione ha due possibili risultati:
1) \( \displaystyle \frac{{{3}\beta-{3}\alpha}}{{2}}=\frac{{{3}\beta+{3}\alpha}}{{2}} \), che ha come soluzione \( \displaystyle \gamma={0} \) che è esclusa dall'ipotesi che \( \displaystyle \gamma \) sia l'angolo di un triangolo
2) \( \displaystyle \frac{{{3}\beta-{3}\gamma}}{{2}}=-\frac{{{3}\beta+{3}\gamma}}{{2}} \), che ha come soluzione \( \displaystyle \beta={0} \) che è esclusa.

Cosa sto sbagliando?

E' tutto giusto (ti sei accorto anche della mia svista).

Dunque...

\( \displaystyle {\cos{{\left(\frac{{{3}\beta-{3}\gamma}}{{2}}\right)}}}={\cos{{\left(\frac{{{3}\beta+{3}\gamma}}{{2}}\right)}}} \) se e solo se:

1) \( \displaystyle \frac{{{3}\beta-{3}\alpha}}{{2}}=\frac{{{3}\beta+{3}\alpha}}{{2}}+{2}{k}\pi \)
2) \( \displaystyle \frac{{{3}\beta-{3}\alpha}}{{2}}=-\frac{{{3}\beta+{3}\alpha}}{{2}}+{2}{k}\pi \)

Lasciando per un momento perdere la periodicità delle soluzioni andiamo a considerare quelle nell'intervallo \( \displaystyle {\left[{0};\pi\right]} \); converrai che la (2) può essere scritta anche così:

2) \( \displaystyle \frac{{{3}\beta-{3}\alpha}}{{2}}={2}\pi-\frac{{{3}\beta+{3}\alpha}}{{2}} \) (basta prendere \( \displaystyle {k}={1} \) )

[elios]

Ah giusto, che errore idiota!
Grazie mille..!