Costo del ponte - SNS 1985

[elios]

"Per la costruzione di un certo ponte si prevede che il costo di ogni arcata sarà \( \displaystyle {18}\cdot{{s}}^{{2}} \) miliardi di lire, dove \( \displaystyle {s} \) è la distanza in chilometri fra i due piloni di sostegno di quell'arcata, mentre il costo di ogni pilone sarà di mezzo miliardo. Se il ponte deve essere lungo 3 chilometri quale sarà il minimo costo dell'opera?"

La mia domanda è soprattutto se è giusto considerare che i tratti \( \displaystyle {s} \) debbano essere tutti uguali. Tali tratti sono a somma costante (3 chilometri), conseguentemente il loro prodotto sarà minimo per tutti tratti uguali, ma non ho trovato regole simili per la somma dei quadrati dei tratti..
Considerando tutti i tratti uguali il problema si riduce al calcolo del minimo di
\( \displaystyle {18}\cdot{n}\cdot{{s}}^{{2}}+{\left({n}+{1}\right)}\cdot\frac{{1}}{{2}} \), con \( \displaystyle {n} \) il numero dei tratti uguali. Essendo \( \displaystyle {s}=\frac{{3}}{{n}} \),
\( \displaystyle {18}{n}\cdot{\left(\frac{{9}}{{{{n}}^{{2}}}}\right)}+\frac{{1}}{{2}}{n}+\frac{{1}}{{2}}=\frac{{162}}{{n}}+\frac{{1}}{{2}}{n}+\frac{{1}}{{2}} \).
La derivata è \( \displaystyle -\frac{{162}}{{{{n}}^{{2}}}}+\frac{{1}}{{2}} \) ed è minima per \( \displaystyle {n}={18} \). Il costo minimo è 18.5 miliardi.

E' giusto imporre che i tratti debbano essere tutti uguali?
Grazie dell'aiuto.

[Raptorista]

Siccome devi considerare i quadrati delle lunghezze e fare in modo che siano minimi, considera come esempio il caso con un solo pilone: hai due arcate di lunghezza \( \displaystyle {s} \), quindi la somma dei quadrati è \( \displaystyle {2}{{s}}^{{2}} \).
Spostando il pilone avrai sempre due arcate le cui lunghezze sono \( \displaystyle {s}_{{1}}={s}+\epsilon \) ed \( \displaystyle {s}_{{2}}={s}-\epsilon \). La somma dei quadrati delle distanze diventa \( \displaystyle {{s}_{{1}}^{{2}}}+{{s}_{{2}}^{{2}}}={{\left({s}+\epsilon\right)}}^{{2}}+{{\left({s}-\epsilon\right)}}^{{2}}={{s}}^{{2}}+{2}{s}\epsilon+{\epsilon}^{{2}}+{{s}}^{{2}}-{2}{s}\epsilon+{\epsilon}^{{2}}={2}{{s}}^{{2}}+{2}{\epsilon}^{{2}} \) e quindi è sempre maggiore di \( \displaystyle {2}{{s}}^{{2}} \).

Quindi secondo me è giusto il tuo procedimento

[elios]

Effettivamente sembra giusto che debbano essere uguali..

[giammaria]

Il tuo "sembra giusto" mostra che hai ancora dei dubbi; puoi toglierteli estendendo il ragionamento di Raptorista agli n piloni. Detta s la lunghezza media di un'arcata, se i piloni distano s fra loro, la somma dei quadrati è \( \displaystyle {n}{{s}}^{{2}} \). Spostiamo ora i piloni 1, 2, ..., n-1 di \( \displaystyle {a}_{{1}},{a}_{{2}},\ldots,{a}_{{{n}-{1}}} \) che considereremo positivi in un verso e negativi nell'altro; si vede facilmente che la somma dei quadrati è \( \displaystyle {n}{{s}}^{{2}}+\text{somma di quadrati} \) e quindi il valore minimo si ha quando tutte le \( \displaystyle {a}_{{i}} \) sono nulle.

[elios]

Sì, ho capito. Grazie mille della spiegazione.