Costruzione geometrica - SNS 1986

[elios]

"Sia \( \displaystyle {A}{B}{C} \) un triangolo isoscele di base \( \displaystyle {B}{C} \) con l'angolo al vertice \( \displaystyle {B}{A}{C} \) minore di 60°. Si costruisca un altro triangolo \( \displaystyle {P}{Q}{R} \), di base \( \displaystyle {Q}{R} \), circoscritto e simile ad \( \displaystyle {A}{B}{C} \), tale che il punto \( \displaystyle {A} \) appartenga al segmento \( \displaystyle {Q}{R} \) e si abbia \( \displaystyle {Q}{A}={2}\cdot{A}{R} \)."

Premettendo che con le costruzioni geometriche mi ci prendo davvero a cazzotti, ho tentato di iniziare a ragionarci.
Traccio la circonferenza circoscritta al triangolo \( \displaystyle {A}{B}{C} \). Tutti gli angoli alla circonferenza tracciati dalla corda \( \displaystyle {B}{C} \) hanno ampiezza uguale a \( \displaystyle {B}{A}{C} \). Traccio la circonferenza simmetrica alla precedente rispetto a \( \displaystyle {B}{C} \), e conseguentemente \( \displaystyle {P} \) dovrà trovarsi su tale circonferenza. Chiamo \( \displaystyle {H} \) il punto di intersezione fra la seconda circonferenza e l'altezza del triangolo \( \displaystyle {A}{B}{C} \). Chiamando \( \displaystyle {M} \) il punto medio di \( \displaystyle {Q}{R} \), \( \displaystyle {P}{M} \) passa per \( \displaystyle {H} \) poiché \( \displaystyle {P}{M} \) è anche bisettrice dell'angolo \( \displaystyle {R}{P}{Q} \) perciò biseca l'arco \( \displaystyle {B}{C} \). Traccio la circonferenza di diametro \( \displaystyle {A}{H} \): \( \displaystyle {M} \) dovrà appartenere ad essa, poiché \( \displaystyle {A}{M} \) deve essere perpendicolare a \( \displaystyle {M}{H} \) (che è \( \displaystyle {M}{P} \)), in quanto \( \displaystyle {P}{M} \) è anche altezza del triangolo \( \displaystyle {P}{Q}{R} \).

Beh, non so come andare avanti.. Non so come sfruttare la relazione fra \( \displaystyle {Q}{A} \) e \( \displaystyle {A}{R} \).
Grazie mille dell'aiuto.

[Fioravante Patrone]

Ma scusa, stai scrivendo un libro su come si risolvono gli esercizi SNS?
Guarda che poi gli utenti che ti hanno risposto avranno diritto a una quota (consistente) di royalties.

[elios]

Ahah, per carità, cedo tutti i diritti! In effetti, stenderci un libro non è una cattiva idea..

[giammaria]

Giustamente noti che P deve stare sulla circonferenza circoscritta al simmetrico di ABC; cerchiamo ora di sfruttare l'altro dato. Sia S il punto di BC tale che SC=2BS; confrontiamo i triangoli ARP e ABS, che sono simili avendo \( \displaystyle {A}{\hat{{R}}}{P}={A}{\hat{{B}}}{S} \) per la similitudine data e \( \displaystyle {A}{R}:{B}{S}={P}{R}:{A}{B} \) perché AR e BS sono un terzo di QR e BC: ne consegue \( \displaystyle {R}{\hat{{P}}}{A}={B}{\hat{{A}}}{S} \). Con base sul prolungamento di AS disegniamo il triangolo isoscele ABE (avremo quindi \( \displaystyle {B}{\hat{{E}}}{A}={B}{\hat{{A}}}{E} \)) e la circonferenza ad esso circoscritta, luogo dei punti che, da parte opposta ad A, vedono AB sotto l'angolo voluto. L'intersezione fra le due circonferenze dà il punto P e non è poi difficile completare la costruzione.
Qualche osservazione:
1) non capisco perché l'angolo al vertice deva essere minore di 60°;
2) mi accorgo che ora non ho mente lucida: spero di non aver scritto fesserie, ma a parte qualche possibile triangolo sbagliato l'idea base dovrebbe andar bene;
3) niente male l'idea di un libro di soluzioni! Se qualcuno lo scriverà, mi prenoto fin d'ora per una copia; se invece è già scritto, gradirei conoscerne gli estremi, e non credo di essere l'unica persona.

[WiZaRd]

Beh, un libro con alcune soluzioni esiste, però non è più in commercio: Conti, Profeti - I Problemi di Matematica della Scuola Normale Superiore di Pisa - Bollati Boringhieri.

[elios]

e la circonferenza ad esso circoscritta, luogo dei punti che, da parte opposta ad A, vedono AB sotto l'angolo voluto.

Quale angolo? Non ho capito questa circonferenza circoscritta. Grazie.

[elios]

Ah sì forse ho capito. Che vedono AB sotto l'angolo \( \displaystyle {B}{\hat{{E}}}{A}={R}{\hat{{P}}}{A} \)..

[elios]

Ricapitolo i passaggi della costruzione, sfruttando le proprietà che abbiamo detto nei post precedenti.

Traccio la circonferenza \( \displaystyle {C}_{{1}} \) circoscritta al triangolo ABC.
Traccio la circonferenza \( \displaystyle {C}_{{2}} \) simmetrica alla precedente rispetto a BC.
Individuo il punto S su BC, tale che \( \displaystyle {S}{C}={2}\cdot{B}{S} \) (costruzione di Talete).
Costruisco il triangolo isoscele ABE con E sul prolungamento di AS.
Traccio la circonferenza \( \displaystyle {C}_{{3}} \) circoscritta al triangolo ABE.
L'intersezione fra \( \displaystyle {C}_{{2}} \) e \( \displaystyle {C}_{{3}} \) è P.
Essendo H l'intersezione fra l'altezza di ABC e \( \displaystyle {C}_{{2}} \), traccio la retta PH.
Traccio la semicirconferenza di diametro AH.
L'intersezione fra tale semicirconferenza e PH è M, il punto medio di RQ.
Tracciata la retta AM, i punti Q e R sono l'intersezione di tale retta con i prolungamenti rispettivamente di PC e PB.
Traccio il triangolo PQR.

[giammaria]

Ricapitolo i passaggi della costruzione, sfruttando le proprietà che abbiamo detto nei post precedenti.

Traccio la circonferenza \( \displaystyle {C}_{{1}} \) circoscritta al triangolo ABC.
Traccio la circonferenza \( \displaystyle {C}_{{2}} \) simmetrica alla precedente rispetto a BC.
Individuo il punto S su BC, tale che \( \displaystyle {S}{C}={2}\cdot{B}{S} \) (costruzione di Talete).
Costruisco il triangolo isoscele ABE con E sul prolungamento di AS.
Traccio la circonferenza \( \displaystyle {C}_{{3}} \) circoscritta al triangolo ABE.
L'intersezione fra \( \displaystyle {C}_{{2}} \) e \( \displaystyle {C}_{{3}} \) è P.

Fin qui sono d'accordo, a parte il fatto che mi sembra più facile non disegnare \( \displaystyle {C}_{{1}} \) ma direttamente \( \displaystyle {C}_{{2}} \), circoscritta al triangolo simmetrico di ABC. Il seguito probabilmente è giusto, ma mi sembra inutilmente complicato; consiglierei invece di tracciare le semirette PB e PC (su cui giacciono R e Q) e la bisettrice dell'angolo fra loro: QR è la perpendicolare a questa bisettrice passante per A. Oppure puoi prendere su una di queste semirette un punto H a caso e sull'altra il punto K con PH=PK: QR è la parallela a HK passante per A.

[elios]

Sì è vero. E' meno complicato..