Covettore...

[dissonance]

Beh vabbè comunque io penso che anche senza scendere troppo sul tecnico un mucchio di idee si possano dare lo stesso. Un libro che segue questa strada è lo Spivak (A comprehensive introduction to differential geometry vol. I).

A seconda del livello di generalità che si vuole raggiungere le definizioni fondamentali della geometria differenziale possono essere più o meno complicate. Ad esempio se ci si vuole occupare solo di \(\mathbb{R}^n\), è sufficiente considerarne la sola struttura affine (ed euclidea) e definire il fibrato tangente come l'insieme \(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n\), i cui elementi indichiamo con questa notazione: \[(p, v) \equiv v_p\]
dicendo che \(v_p\) è il vettore \(v\) tangente ad \(\mathbb{R}^n\) nel punto \(p\). Una sezione di questo fibrato è semplicemente una mappa

\[s \colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n\]

che ad un punto \(p\) associa un vettore \(v_p\) in esso applicato. Quando \(s\) è una funzione liscia questo oggetto si chiama campo vettoriale. Similmente, considerando il fibrato cotangente \(\mathbb{R}^n\times (\mathbb{R}^n)^\star\), i cui elementi \(\omega_p\) sono covettori applicati in punti, una sezione del fibrato cotangente è una mappa

\[\sigma\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \times (\mathbb{R}^n)^\star\]

che ad ogni punto \(p\) associa un covettore \(\omega_p\) in esso applicato. Quando la mappa è liscia questo oggetto si chiama forma differenziale (di ordine 1).

Ora ci possiamo porre il problema di generalizzare tali costruzioni a varietà diverse da \(\mathbb{R}^n\), facendo partire il carrozzone della geometria differenziale vera e propria. Ma l'idea di fondo è già, in larga parte, qui.

[menale]

Tutte queste cose destano tanta curiosità, a tal punto da voler bypassare la triennale.

[maurer]

Ti capisco! Ma le basi non sono meno importanti! Certo, si potrebbero fare in meno tempo, questo sì!

[marco.bre]

Mi intrometto solo per fare i complimenti a maurer e a dissonance: siete bravissimi a dare un'idea a noi che siamo alle prime armi di cosa ci aspetta! Inoltre a leggere ciò che scrivete mi sento motivato e mi viene una gran voglia di studiare e di sbattermi!

[dissonance]

Grazie Marco!!!
Mi hai fatto contento.

[maurer]

Mi hai fatto contento.

Anche a me! Ciò dimostra che ogni tanto riesco pure a farmi capire quando parlo!

[menale]

Ciò dimostra che ogni tanto riesco pure a farmi capire quando parlo!

Concordo pienamente.
Comunque mi unisco ai complimenti, d'altronde non è possibile fare diversamente.