Sì, è normale che tu arrivi a questo punto e senti parlare di covettori senza avere la reale possibilità di capire cosa sono veramente. Il problema, dal mio punto di vista, sono i didattici che si ostinano a voler trattare con i guanti di velluto gli studenti per paura di spaventarli a morte e di farli fuggire. Li odio!
Il linguaggio giusto è quello che è e non possiamo fare altro che prenderci dimestichezza...
Bene, posso provare a procedere con la spiegazione. Provo un livello intuitivo; sappi già ancora prima di iniziare che non è possibile che tu comprenda alla perfezione il discorso successivo. Se, adesso o più avanti, vorrai approfondire i dettagli per ottenere una migliore comprensione dimmelo, che posso provvedere ad integrare.
Ah, ho dimenticato una cosa fondamentale: tu hai confidenza con la topologia, vero? Perché altrimenti è davvero un macello. Non l'ho scritto prima perché (purtroppo?) mi sto dimenticando l'ordine con cui ho imparato le cose e argomenti come la topologia mi sembra di averceli nel DNA...
Dunque, per prima cosa consideriamo il caso due-dimensionale. Come dicevo prima, è fuorviante pensare ad un piano. Ti consiglio di pensare ad un ellissoide. L'ellissoide sarà il nostro modello di varietà differenziabile. Intuitivamente, una varietà differenziabile è un oggetto che è localmente euclideo: ogni punto della varietà ha un intorno sulla varietà che è omeomorfo ad una palla aperta in \( \displaystyle \mathbb R^n \) . Nel nostro caso, ogni punto dell'ellissoide ha un intorno aperto omeomorfo ad un disco del piano. Questa è la caratteristica più importante delle varietà topologiche; una varietà differenziabile è una varietà topologica su cui è stata fatta una scelta delle funzioni ammissibili, che determinano la classe di differenziabilità. Più regolari sono le funzioni, più alta è la classe di differenziabilità (bisognerebbe introdurre definizioni formali, ma ti annegherei semplicemente di nozioni troppo nuove per essere assimilate in poco tempo; se ne è comunque parlato in qualche misura
qui).
Considera il nostro ellissoide e fissa un punto su di esso, diciamo \( \displaystyle P \) . Lo spazio ambiente è \( \displaystyle \mathbb R^3 \) e spero che non avrai difficoltà a capire cosa intendo con spazio tangente all'ellissoide nel punto \( \displaystyle P \) (sempre a livello intuitivo). Ora, se chiamiamo \( \displaystyle X \) l'ellissoide, lo spazio tangente a \( \displaystyle X \) in \( \displaystyle P \) è denotato \( \displaystyle T_P(X) \) ed è uno spazio vettoriale. Al variare del punto \( \displaystyle P \) , cambia lo spazio tangente. L'unione di tutti gli spazi tangenti è detto fibrato tangente ed è denotato \( \displaystyle TX \) (bisognerebbe metterci una topologia e dotarlo di struttura di fibrato; comunque sia, sappi che si può fare, ma per ora accontentati di un'immagine non troppo felice da visualizzare; se posso darti un consiglio in merito, non pensare al fibrato tangente nel suo complesso, ma immaginatelo solo localmente, ossia vicino ad un punto).
La parte più difficile è questa: i vettori tangenti tu li immagini (giustamente, perché ti ho condotto su questa strada) come vettori applicati nello spazio. Il punto è che per parlare di varietà differenziabili in generale (e per capire per bene la nozione di covettore!) occorre operare un cambio di visuale. I vettori tangenti saranno definiti come applicazioni che ad una funzione reale definita in un intorno del punto \( \displaystyle P \) associano un numero reale. Ti viene in mente niente? Mettiamoci adesso pure nel piano, per essere sicuri di usare nozioni che conosci. Nel piano hai fissato un punto \( \displaystyle (x_0,y_0) \) ; vuoi un'operatore che ad una qualsiasi funzione
differenziabile(*) \( \displaystyle f \colon U \to \mathbb R \) , dove \( \displaystyle U \) è un intorno aperto di \( \displaystyle (x_0,y_0) \) associ un numero reale. Chi ti viene in mente? Ad esempio \( \displaystyle \left. \frac{\partial}{\partial x} \right|_{x = x_0,y = y_0} \) . Ecco, questo è quello che succede su una varietà qualsiasi: i vettori tangenti sono le derivazioni (poi qui il discorso si complica, perché se la classe di differenziabilità non è \( \displaystyle \infty \) abbiamo troppi oggetti, ma non entriamo nel merito di simili dettagli!).
I vettori di \( \displaystyle T_P(X) \) sono detti vettori tangenti a \( \displaystyle X \) in \( \displaystyle P \) . Inoltre, \( \displaystyle T_P(X) \) è uno spazio vettoriale e come tutti gli spazi vettoriali, ha il suo duale, che viene denotato \( \displaystyle T_P^*(X) \) e viene chiamato spazio cotangente. Ora, cosa sono gli elementi di \( \displaystyle T_P^*(X) \) ? Sono funzionali lineari \( \displaystyle \xi \colon T_P^*(X) \to \mathbb R \) che ad un vettore tangente \( \displaystyle \mathbf v \) associano un numero reale \( \displaystyle \xi(\mathbf v) \) . Ora proviamo a metterci nel piano. Si può dimostrare che lo spazio tangente in \( \displaystyle (x_0,y_0) \) è in questo caso generato da \( \displaystyle \left. \frac{\partial}{\partial x} \right|_{(x,y) = (x_0,y_0)} \) e \( \displaystyle \left. \frac{\partial}{\partial y} \right|_{(x,y) = (x_0,y_0)} \) ; il generico elemento sarà la derivata direzionale in una direzione fissata. Considera una funzione \( \displaystyle f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R \) . Possiamo definire \( \displaystyle \xi \colon T_{(x_0,y_0)}^*(\mathbb R^2) \) ponendo
\( \displaystyle \xi_1 \left( \lambda \left. \frac{\partial}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)} + \mu \left. \frac{\partial}{\partial y} \right|_{(x_0,y_0)} \right) := \lambda \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)} + \mu \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(x_0,y_0)} = \lambda \) . Questo è detto differenziale di \( \displaystyle f \) in \( \displaystyle (x_0,y_0) \) e viene denotato \( \displaystyle \text{d}f_{(x_0,y_0)} \) . Osserva che se denotiamo in maniera oscena la proiezione sulla prima coordinata con \( \displaystyle x \) e quella sulla seconda con \( \displaystyle y \) , ossia \( \displaystyle x,y \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R \) , \( \displaystyle x(a,b) := a \) , \( \displaystyle y(a,b) := b \) allora \( \displaystyle \text{d}x_{(x_0,y_0)} \) e \( \displaystyle \text{d}y_{(x_0,y_0)} \) diventano la base duale di \( \displaystyle \left. \frac{\partial}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)} \) , \( \displaystyle \left. \frac{\partial}{\partial y} \right|_{(x_0,y_0)} \) .
Vedi qual è la difficoltà a ragionare nel piano? In questa situazione il piano tangente a \( \displaystyle \mathbb R^2 \) è una cosa diversa da \( \displaystyle \mathbb R^2 \) (il primo è uno spazio vettoriale, il secondo è da pensarsi come spazio topologico, o meglio, come varietà differenziabile), ma ovviamente sono lo stesso insieme e anche la visualizzazione geometrica non aiuta perché uno è sovrapposto all'altro e sembrano davvero la stessa cosa; in altre parole hai che \( \displaystyle x,y \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R \) sono funzioni definite su \( \displaystyle \mathbb R^2 \) -varietà, mentre \( \displaystyle \text{d}x_{(x_0,y_0)}, \text{d}y_{(x_0,y_0)} \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R \) sono funzionali lineari definiti su \( \displaystyle \mathbb R^2 \) -spazio vettoriale. Nel caso di una varietà generica non c'è problema di confusione: \( \displaystyle x,y \colon X \to \mathbb R \) , mentre \( \displaystyle \text{d}x_{(x_0,y_0)}, \text{d}y_{(x_0,y_0)} \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R \) .
Ora siamo quasi arrivati. Infatti se \( \displaystyle f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R \) è una funzione qualsiasi è possibile definire una mappa \( \displaystyle \text{d}f \colon \mathbb R^2 \to T^* \mathbb R^2 \) (il fibrato cotangente di \( \displaystyle \mathbb R^2 \) , che puoi pensare come l'unione di tutti gli spazi cotangenti) definita da \( \displaystyle (\text{d}f)(x_0,y_0) := \text{d}f_{(x_0,y_0)} \) . Ecco, questa è una 1-forma differenziale.
Ora secondo me i covettori dovrebbero essere le 1-forme differenziali. Però non posso escludere che qualcuno chiami covettori i vettori cotangenti, ossia gli elementi del piano cotangente in un punto fissato.
Si può andare avanti, ovviamente. Non serve più topologia e analisi di quanta ne abbiamo usato finora. Invece, serve l'algebra perché per parlare di forme differenziali in maniera decente, bisogna introdurre la nozione di potenza esterna del fibrato cotangente.
Fammi sapere se vuoi andare avanti. Ovviamente puoi fare ogni domanda che vuoi. Puoi anche dirmi di non dire più nulla ed invocare l'intervento di qualcuno più bravo a divulgare.
(*) Avrei potuto sottointendere la parola differenziabile e tutto avrebbe dovuto avere senso lo stesso. Il motivo, è che stiamo lavorando su varietà differenziabili, quindi le uniche funzioni che ci interessano sono quelle differenziabili.
I believe in the axiom of choice, and in particular that every proper ideal in a ring is contained in a maximal ideal!
da menale » 05/02/2012, 20:12 
