Curva Algebrica

[PacMan86]

Ciao,
ho un piccolo problema con le curve algebriche, in particolare con questa:
"Studiare la curva algebrica di equazione
\( \displaystyle {3}{{x}}^{{3}}-{{x}}^{{2}}{y}-{2}{x}{y}+{x}-{y}+{1}={0} \)
nei suoi punti impropri e nel punto (0,1)"

Il libro di testo che usa il mio pfrof è praticamente incomprensibile e senza alcun tipo di esempi utili per questo tipo di esercizi. Quindi, se qualcuno oltre ad aiutarmi a capire come si risolve quest'esercizio in particolare, mi desse qualche dritta di teoria sulle curve piane o cmq qualche link a dispense(teo/ese) compresibili, gle ne sarei molto grato.

Cmq, bel forum, mi ha aiutato in più di un'occasione da quando sto studiando geometria(ovviamente da visitatore, questo è il mio primo post )
grazie

[apatriarca]

Potresti dirci quale libro sta usando il tuo professore come riferimento in modo da poterti dare qualche consiglio su eventuali testi sostitutivi?

Non avendo un'idea precisa di cosa ti sia stato spiegato, non ho un'idea precisa di cosa il tuo professore intenda con "studiare la curva algebrica", ma il primo passo nella risoluzione di tale esercizio è senza dubbio o quello di trovare i punti impropri o quello di studiare la curva nel punto \((0,1)\). Per cui, che cosa si intende con punto improprio? Come si trovano? Che cosa sai dire sulla curva nel punto \((0,1)\)? La curva è regolare in quel punto? Qual'è il suo cono tangente?

[PacMan86]

Il libro di testo è Algebra Lineare e Geometria cartesiana di A.Basile

[apatriarca]

Non conosco il testo. Quali sono gli argomenti trattati dal testo (a grandi linee)? Di che corso si tratta?

In ogni caso hai idea di come rispondere alle domande poste nel mio precedente post? Sai cioè dirmi quali sono i punti impropri e se il punto \((0,1)\) è regolare o singolare? Sai almeno dirmi le definizioni di punto improprio e di punto regolare e singolare?

[PacMan86]

Guarda, sta notte c'ho lavorato su, e cercando su internet e prendendo spunto da quei pochi esempi malfatti del libro, sono riuscito a fare questo...
Innanzi tutto la curva ha ordine 3, quindi i punti impropri passanti per l'origine sono 3 l'asse delle y contato due volte e la retta 3x-y di conseguenza, quindi credo che i punti impropri sono(ho saltato i calcoli che immagino, siano banali da capire):
- \( \displaystyle {P}\infty={\left({o},{y},{o}\right)}={\left({0},{1},{0}\right)} \)
e
- \( \displaystyle {Q}\infty={\left(-{b},{a},{o}\right)}={\left({1},{3},{0}\right)} \)
il primo (cioè P) ha molteplicità due(e fin qui, correggimi se sbaglio, ho trovato i punti impropri)

Ora devo analizzarli, perciò interseco la retta per P=0 di eq. x=k con la curva C e trovo i punti di intersezione tra retta e curva. Ugualmente per Q, immagino(tranne per il fatto che la generica retta ha eq. tipo 3x-y+h=0).
Ora per determinare se le intersezioni sono punti singoli o doppi, e le tangenti comincio ad avere qualche difficoltà..(sia di Q che Q)
grazie

[apatriarca]

Il calcolo per trovare i punti impropri è corretto, ma non sono molto convinto riguardo alle definizioni che ti sono state date. Non credo che abbia infatti molto senso parlare di punti impropri passanti per l'origine e non credo sia molto corretto parlare dei punti impropri come di rette nello stesso spazio affine della curva. I calcoli successivi non mi sono poi molto familiari. Questo genere di calcoli viene per me effettuato passando al piano proiettivo e portando quindi i vari punti nell'origine di un qualche aperto affine. Ma immagino che questi concetti tu non li abbia studiati.

Hai idea di come analizzare il punto \((0,1)\)?

[PacMan86]

Ma, in realtà è proprio li che non capisco, perchè in effetti, studiando più accuratamente il calcolo dei punti impropri è facile, o perlomeno abbordabile, solo che dopo non capisco perchè appunto passi al piano proettivo e interseca la retta con la curva e come poi fà per analizzare i punti singolari o doppi...
Sono certo del passaggio perchè mi sn fatto dare da un amico alcuni appelli svolti con questo tipo di esercizio e la procedura è:
-Passaggio a coordinate omogenee
-Prendo i monomi o polinomi di grado superiore e trovo le rette che compongono la curva
-Poi analizza i punti intersecando la retta con la curva

Cmq per quanto riguarda l'analisi del punto (0,1) non ho idee...ma suppongo che la procedura sia quella di creare un fascio di rette, trovare la retta passante per il punto ed intersecarla alla curva..ma rimane una mia idea..

[PacMan86]

Ma poi per studiare la curva nell'origine non si fa la derivata del del polinomio?

[apatriarca]

Non è necessario calcolare le derivate parziali del polinomio se stai analizzando la curva nell'origine. Ma se ti è stato insegnato a studiare la curva calcolandone le derivate parziali, allora inizia a calcolare le derivate parziali in \((0,1)\) della curva. Che cosa mi sai dire sul punto?