Curvatura Gaussiana sulla Bottiglia di Klein

[katmandu]

Buongiorno a tutti,
ho un dubbio: scelta localmente un' orientazione (ovvero scelto un segno per la normale), posso ad occhio (ie. senza calcolare I e II forma) capire il segno della curvatura gaussiana di un determinato punto della nostra bottiglia di Klein?
A mio parere la risposta è sì, ma vorrei sapere se le mie ragioni sono fondate. Esse sono:
i)La bottiglia di Klein è una superficie topologica.
ii)Per qualsiasi altra superficie (a parte il piano proiettivo) sappiamo dire ad occhio se un punto è ellittico o iperbolico o ancora piano o parabolico (sempre dopo aver scelto l'orientazione)
iii)La curvatura gaussiana è intrinseca (quindi è uguale in qualsiasi dimensione \( \displaystyle {n}\ge{3} \) per qualsiasi embedding, ma non per qualsiasi immersione e questo è il nodo di gordo del problema)

In definitiva: è possibile che un punto palesemente ellittico di una superficie immersa in \( \displaystyle {{\mathbb{{{R}}}}}^{{3}} \) possa diventare iperbolico in \( \displaystyle {{\mathbb{{{R}}}}}^{{4}} \)?

Grazie in anticipo

[katmandu]

Nessuno? Nessunissima idea?

[ciampax]

Dovresti riuscire a darti una risposta semplicemente scrivendoti la definizione di punti ellittici ed iperbolici e valutando se ci sono casi in cui si presenti una tale eventualità.

Ah, e si dice "Nodo di Gordio"! http://it.wikipedia.org/wiki/Nodo_di_Gordio

[katmandu]

E' proprio di Gordio!
Ma per quanto riguarda i punti ellittici (risp iperbolici), la definizione è proprio che la curvatura gaussiana è positiva (risp negativa) nel punto. Ma non so come calcolarla, ovvero:
posso calcolare prima e seconda forma fondamentale su una parametrizzazione in \( \displaystyle {{\mathbb{{{R}}}}}^{{3}} \) o devo farla in \( \displaystyle {{\mathbb{{{R}}}}}^{{4}} \)? Non sono neanche sicuro che siano definite in dimensione 4