Cuspidi e punti angolosi: si salvi chi può.

Messaggioda agomath » 14/10/2008, 17:11

In questo mio studio sulle derivate sto incontrando vari scogli, alcuni riesco a sorpassarli, ma altri...Per quanto riguarda il tema di questo post, io so che un punto angoloso di una funzione è un punto in cui la derivata destra è diversa da quella sinistra...

Un cuspide è un punto in cui derivata destra e sinistra valgono rispettivamente + e - infinito, ma cosa vuol mai dire ciò? Cioè che differenza c'è tra questi due valori di coefficienti angolari? Potreste gentilmente farmi un esempio di cuspide?

Grazie, ciao.
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Messaggioda adaBTTLS » 14/10/2008, 17:16

in un punto angoloso ci sono due diverse tangenti al grafico della funzione. in una cuspide c'è un'unica tangente verticale.
un esempio di cuspide, in $x=0$ è della funzione $f(x)=root(3)(x^2)$. prova a trovare i limiti delle due derivate. ciao.
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Messaggioda codino75 » 14/10/2008, 17:51

un esempio 'pane e salame': :
pensa ad una funzione fatta cosi':
prendi 2 circonferenze, affiancale in orizzontale in modo che si tocchino, e poi togli tutta la meta' superiore.
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Messaggioda agomath » 14/10/2008, 18:16

codino75 ha scritto:un esempio 'pane e salame': :
pensa ad una funzione fatta cosi':
prendi 2 circonferenze, affiancale in orizzontale in modo che si tocchino, e poi togli tutta la meta' superiore.


Bell'esempio, rende l'idea! :) però aspetta... allora sono le funzioni che tendono a infinito e non il coefficiente angolare della retta cioè...che significa avere coefficiente angolare +infinito e - infinito? Nel primo caso dovrei avere una retta parallela all'asse delle ordinate, ma nel secondo caso? :roll:
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Messaggioda codino75 » 14/10/2008, 18:27

agomath ha scritto:
codino75 ha scritto:un esempio 'pane e salame': :
pensa ad una funzione fatta cosi':
prendi 2 circonferenze, affiancale in orizzontale in modo che si tocchino, e poi togli tutta la meta' superiore.


Bell'esempio, rende l'idea! :) però aspetta... allora sono le funzioni che tendono a infinito e non il coefficiente angolare della retta cioè...che significa avere coefficiente angolare +infinito e - infinito? Nel primo caso dovrei avere una retta parallela all'asse delle ordinate, ma nel secondo caso? :roll:


dopo essermi ripreso per essere stato citato prima di ada :-D :-D :-D :-D :-D :-D ti dico che ci puoi arrivare da solo/sola 8-) 8-) 8-) (forse...in effetti non ho nemmeno bene capito il tuo dubbio)... cmq, non sono le funzioni che tendono ad infinito, ma la derivata.
ciao
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Messaggioda agomath » 28/10/2008, 21:45

Non ho proprio idea di quale possa essere la differenza nell'avere coefficiente angolare +infinito o - infinito, potreste chiarirmi un po' le idee?
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Messaggioda moreno88 » 29/10/2008, 01:09

infatti nn esiste....
il complesso di Piola
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Messaggioda codino75 » 29/10/2008, 11:15

dopo aver quotato in pieno moreno88, ti dico che:
ricorda che stiamo parlando di limiti...
in un caso la derivata TENDE a +infinito
in un altro caso la derivata TENDE a -infinito
il concetto di derivata viene definito attraverso il concetto di limite del rapporto incrementale...non ti far confondere dal fatto che poi riesci a disegnare la retta tangente in entrambi i casi e ti viene uguale (cioe' in entrambi i casi e' una retta verticale)
ora mi taccio perche' temo di essere andatop oltre le mie conoscenze.
ciao
riguardati il concetto di limite, se non ti e' chiaro...e' uno dei piu' belli che ho incontrato nella mia modestissima avventura matematica.
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Messaggioda mathmum » 29/10/2008, 11:41

Esempio "carta, penna e calamaio":

Disegna su un foglio una curva con cuspide e considera un punto sul "ramo destro" della cuspide.
Traccia la tangente alla curva passante per quel punto.
Com'è il coefficiente angolare della tangente? Positivo? Negativo?

Ora prendi sullo stesso ramo un altro punto, più vicino alla cuspide, e traccia la tangente alla curva in questo nuovo punto.
Com'è il coefficiente angolare della tangente? Ha lo stesso segno del precedente ma è maggiore in valore assoluto, giusto?

Ripetendo questo procedimento con punti sempre più vicini alla cuspide ed appartenenti allo stesso ramo di curva puoi visualizzare come si muovono le rette tangenti alla curva e di conseguenza come si modificano i relativi coefficienti angolari (pendenza... derivata...).

Ti accorgerai che lungo un ramo i coefficienti angolari delle tangenti sono negativi e lungo l'altro sono positivi, ed in entrambi i casi crescono in valore assoluto, fino a "raggiungere" pendenza "+ o - infinita" nel punto in cui hai la cuspide.

Ciao
mathmum
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Messaggioda agomath » 30/10/2008, 17:08

Grazie per le risposte, adesso credo di avere le idee un pochino più chiare.
agomath
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