derivata f(x)/costante e viceversa

[evil_lcf]

ciao a tutti, sto ripassando per l'esame di mate e mi è venuto un dubbio attroce , come da titolo, qual è la derivata di f(x)/costante e costante/f(x)? è applicabile la formula f(x)/g(x)= (f'(x)g(x))-(f(x)g'(x)))g(x)^2 ?

grazie

[*v.tondi]

Procediamo per gradi:
\( \displaystyle \frac{{f{{\left({x}\right)}}}}{{k}} \), consideriamola come un rapporto di funzioni e per la nota formula \( \displaystyle \frac{{f{{\left({x}\right)}}}}{{g{{\left({x}\right)}}}} \) otteniamo \( \displaystyle {D}{\left[\frac{{f{{\left({x}\right)}}}}{{g{{\left({x}\right)}}}}\right]}=\frac{{{f{'}}{\left({x}\right)}{g{{\left({x}\right)}}}-{f{{\left({x}\right)}}}{g{'}}{\left({x}\right)}}}{{{\left[{g{{\left({x}\right)}}}\right]}}^{{2}}} \). Nel tuo caso \( \displaystyle {D}{\left[\frac{{f{{\left({x}\right)}}}}{{k}}\right]}=\frac{{{f{'}}{\left({x}\right)}{k}-{f{{\left({x}\right)}}}\cdot{0}}}{{{k}}^{{2}}}=\frac{{{f{'}}{\left({x}\right)}}}{{k}} \)

\( \displaystyle \frac{{k}}{{g{{\left({x}\right)}}}} \), anche questa consideriamola come un rapporto di funzioni e per la nota formula \( \displaystyle \frac{{f{{\left({x}\right)}}}}{{g{{\left({x}\right)}}}} \) otteniamo \( \displaystyle {D}{\left[\frac{{f{{\left({x}\right)}}}}{{g{{\left({x}\right)}}}}\right]}=\frac{{{f{'}}{\left({x}\right)}{g{{\left({x}\right)}}}-{f{{\left({x}\right)}}}{g{'}}{\left({x}\right)}}}{{{\left[{g{{\left({x}\right)}}}\right]}}^{{2}}} \). In questo caso \( \displaystyle {D}{\left[\frac{{k}}{{g{{\left({x}\right)}}}}\right]}=\frac{{{0}\cdot{g{{\left({x}\right)}}}-{k}{g{'}}{\left({x}\right)}}}{{{\left[{g{{\left({x}\right)}}}\right]}}^{{2}}}=\frac{{-{k}{g{'}}{\left({x}\right)}}}{{{\left[{g{{\left({x}\right)}}}\right]}}^{{2}}} \). Tutto chiaro?

[evil_lcf]

Procediamo per gradi:
\( \displaystyle \frac{{f{{\left({x}\right)}}}}{{k}} \), consideriamola come un rapporto di funzioni e per la nota formula \( \displaystyle \frac{{f{{\left({x}\right)}}}}{{g{{\left({x}\right)}}}} \) otteniamo \( \displaystyle {D}{\left[\frac{{f{{\left({x}\right)}}}}{{g{{\left({x}\right)}}}}\right]}=\frac{{{f{'}}{\left({x}\right)}{g{{\left({x}\right)}}}-{f{{\left({x}\right)}}}{g{'}}{\left({x}\right)}}}{{{\left[{g{{\left({x}\right)}}}\right]}}^{{2}}} \). Nel tuo caso \( \displaystyle {D}{\left[\frac{{f{{\left({x}\right)}}}}{{k}}\right]}=\frac{{{f{'}}{\left({x}\right)}{k}-{f{{\left({x}\right)}}}\cdot{0}}}{{{k}}^{{2}}}=\frac{{{f{'}}{\left({x}\right)}}}{{k}} \)

\( \displaystyle \frac{{k}}{{g{{\left({x}\right)}}}} \), anche questa consideriamola come un rapporto di funzioni e per la nota formula \( \displaystyle \frac{{f{{\left({x}\right)}}}}{{g{{\left({x}\right)}}}} \) otteniamo \( \displaystyle {D}{\left[\frac{{f{{\left({x}\right)}}}}{{g{{\left({x}\right)}}}}\right]}=\frac{{{f{'}}{\left({x}\right)}{g{{\left({x}\right)}}}-{f{{\left({x}\right)}}}{g{'}}{\left({x}\right)}}}{{{\left[{g{{\left({x}\right)}}}\right]}}^{{2}}} \). In questo caso \( \displaystyle {D}{\left[\frac{{k}}{{g{{\left({x}\right)}}}}\right]}=\frac{{{0}\cdot{g{{\left({x}\right)}}}-{k}{g{'}}{\left({x}\right)}}}{{{\left[{g{{\left({x}\right)}}}\right]}}^{{2}}}=\frac{{-{k}{g{'}}{\left({x}\right)}}}{{{\left[{g{{\left({x}\right)}}}\right]}}^{{2}}} \). Tutto chiaro?

si fantastico grazie, mi era venuto il dubbio se potevo o no utilizzare quella formula con una costante.
grazie

[*v.tondi]

Non per forza devi utilizzare quella formula, ti faccio notare che \( \displaystyle \frac{{f{{\left({x}\right)}}}}{{k}} \) non è altro che il prodotto di una funzione per una costante, infatti se \( \displaystyle \frac{{1}}{{k}}={a} \) ottieni \( \displaystyle {a}{f{{\left({x}\right)}}} \) la cui derivata è \( \displaystyle {a}{f{'}}{\left({x}\right)} \), cioè \( \displaystyle \frac{{{f{'}}{\left({x}\right)}}}{{k}} \). Chiaro?

[evil_lcf]

Non per forza devi utilizzare quella formula, ti faccio notare che \( \displaystyle \frac{{f{{\left({x}\right)}}}}{{k}} \) non è altro che il prodotto di una funzione per una costante, infatti se \( \displaystyle \frac{{1}}{{k}}={a} \) ottieni \( \displaystyle {a}{f{{\left({x}\right)}}} \) la cui derivata è \( \displaystyle {a}{f{'}}{\left({x}\right)} \), cioè \( \displaystyle \frac{{{f{'}}{\left({x}\right)}}}{{k}} \). Chiaro?

no spe, adesso non mi sto capendo, ho fatto una prova con (x^2+x)/5 e con la 1 formula mi esce (-x^2+9x+5)/25 ma se faccio con la 2 mi esce (2x+1)/5 cioè, ok tiro fuori la costante dalla funzione ma risolvendo non è la stessa cosa, almeno secondo i miei calcoli. mentre con le lettere mi capisco senza problemi anche se nel tuo 2 esempio, "a" essendo stato tirato fuori dalla funzione non si deriva, quale sarebbe quello giusto? mi basta 1 metodo che poi finisce che faccio confusione x niente

grazie

[*v.tondi]

Secondo il mio procedimento ottieni \( \displaystyle \frac{{{\left({2}{x}+{1}\right)}{5}-{\left({{x}}^{{2}}+{x}\right)}{0}}}{{25}}=\frac{{{2}{x}+{1}}}{{5}} \). Con il secondo procedimento sai che \( \displaystyle {k}=\frac{{1}}{{5}} \), quindi ottieni direttamente \( \displaystyle {\left({2}{x}+{1}\right)}{\left(\frac{{1}}{{5}}\right)}=\frac{{{2}{x}+{1}}}{{5}} \). Per forza devi ottenere gli stessi risultati. Tranquillo non ti puoi sbagliare.

[evil_lcf]

azz ho sbagliato la g'(x) ok, provato che sono uguali vado sulla 1 che conosco meglio. grazie 1000 per la pazienza

[*v.tondi]

Di niente, in bocca al lupo.

[evil_lcf]

scusami mi è appena venuto in mente 1 altra cosa, per caso sai niente di come di trova l'area di 1 integrale che va da x a + infinito? ho letto sulel dispense che c'è da trovare il limite dell'integrale ma senza un esempio pratico non mi trovo mica. grazie