determinante e dubbio laplace

[FrederichN.]

ciao ragazzi, rieccomi dopo un pò di tempo...
ho appena avuto uno di quei dubbi amletici, so che posso sviluppare il determinante di una matrice con laplace a partire da una qualsiasi riga, ma questo non è in contraddizione con la proprietà di alternanza del determinante?
mi spiego melgio con un esempio...

\( \displaystyle {A}={\left({\left.\matrix{{1}&{2}&{1}\\{0}&{2}&{3}\\{0}&{0}&{3}}\right.}\right)} \)
\( \displaystyle {A}'={\left.\matrix{{0}&{2}&{3}\\{1}&{2}&{1}\\{0}&{0}&{3}}\right.} \)

affermare che il determinante può essere stabilito partendo dallo sviluppo di una qualsiasi riga non equivale a dire che, per esempio, il determinante di queste due matrici a cui ho invertito due righe è uguale (cosa che non è, essendo uno l'opposto dell'altro)?
forse mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua

[Sergio]

Ti stai perdendo in un bicchier d'acqua

\( \displaystyle {A}={\left({\left.\matrix{{1}&{2}&{1}\\{0}&{2}&{3}\\{0}&{0}&{3}}\right.}\right)} \)
\( \displaystyle {A}'={\left.\matrix{{0}&{2}&{3}\\{1}&{2}&{1}\\{0}&{0}&{3}}\right.} \)

\( \displaystyle |A|=+1\cdot\left|\begin{matrix} 2 & 3 \\ 0 & 3 \end{matrix}\right|=6 \)
\( \displaystyle |A'|=-1\cdot\left|\begin{matrix} 2 & 3 \\ 0 & 3 \end{matrix}\right|=-6 \)

Perché? Perché cambia il segno di \( \displaystyle (-1)^{i+j} \) .