Determinare grado di precisone massimo

[squalllionheart]

Salve ho un proplema irrisolto.
Determinare il valore di \( \displaystyle {h} \) e \( \displaystyle {w} \) in modo tale che la formula di quadratura
\( \displaystyle {\sum_{{{i}={0}}}^{{1}}}{w}{g{{\left({x}_{{i}}\right)}}} \) con \( \displaystyle {x}_{{0}}=-{h} \) e \( \displaystyle {x}_{{1}}={h} \)
Per l'approsimazione dell'integrale \( \displaystyle {\int_{{-{1}}}^{{1}}}{g{{\left({x}\right)}}}{\left.{d}{x}\right.} \) abbia grado di precisione massimo.
Se interpolo con \( \displaystyle {w}{\left({g{{\left({x}_{{0}}\right)}}}+{g{{\left({x}_{{1}}\right)}}}\right)}={w}{\left({g{{\left(-{h}\right)}}}+{g{{\left({h}\right)}}}\right)} \) come faccio a stabilire una relazione con l'approssimazione dell'iintegrale se non ho g?

[Paolo90]

Ciao

Il grado di precisione è il grado del polinomio di grado massimo per cui la quadratura è esatta (che gioco di parole ).

Se sei d'accordo con me su questa definizione, allora direi che puoi procedere così: fai variare il tuo \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}} \) dentro la base di uno spazio di polinomi. Se imponi l'esattezza per gli elementi di una base, allora hai garantita l'esattezza della quadratura su tutti i polinomi dello spazio.

Mi spiego meglio: prendi per prima cosa \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={1} \). Integri e imponi l'esattezza.
Poi prendi \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={x} \) e fai la stessa cosa; poi \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{2}} \) e così via, finché non hai determinato tutto ciò che ti serve.

Questo caso è molto semplice, se sei pratica di quadrature gaussiane il risultato non ti sorprenderà (se ti può servire a me viene \( \displaystyle {w}={1} \) e \( \displaystyle {h}=\frac{\sqrt{{3}}}{{3}} \) e la quadratura ha gdp 3, cioè \( \displaystyle {2}{n}-{1} \), come tutte le quadrature gaussiane, appunto).

Spero di essere stato utile

[squalllionheart]

Non sono pratica per dir la verità potresti farmi vedere i vari passaggi intemedi.
Grazie

[Paolo90]

Imponi l'esattezza della formula sulla funzione (polinomiale) \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}\equiv{1} \).

\( \displaystyle {\int_{{-{{1}}}}^{{1}}}{1}{\left.{d}{x}\right.}={w}\cdot{1}+{w}\cdot{1} \) da cui ricavi \( \displaystyle {2}{w}-{2}={0} \).

Stesso giochino con la funzione \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={x} \): trovi \( \displaystyle {\int_{{1}}^{{1}}}{x}{\left.{d}{x}\right.}={w}{h}+{w}{\left(-{h}\right)} \) che è l'identità \( \displaystyle {0}={0} \) per ogni \( \displaystyle {w},{h} \).

Saliamo ancora: \( \displaystyle {\int_{{-{{1}}}}^{{1}}}{{x}}^{{2}}{\left.{d}{x}\right.}={w}{{h}}^{{2}}+{w}{{\left(-{h}\right)}}^{{2}} \) cioè \( \displaystyle \frac{{2}}{{3}}={2}{w}{{h}}^{{2}} \).

La prima e la terza condizione sono compatibili e danno \( \displaystyle {w}={1} \), \( \displaystyle {h}=\frac{\sqrt{{3}}}{{3}} \).

Abbiamo imposto l'esattezza per i polinomi \( \displaystyle {1},{x},{{x}}^{{2}} \), quindi la formula di quadratura è esatta per qualsiasi polinomio di II grado (che è una combinazione lineare di questi tre: ricorda che ovviamente l'integrale è funzionale lineare).

Un conto mostra che \( \displaystyle {0}={\int_{{-{{1}}}}^{{1}}}{{x}}^{{3}}{\left.{d}{x}\right.}={{\left(\frac{\sqrt{{3}}}{{3}}\right)}}^{{3}}+{{\left(-\frac{\sqrt{{3}}}{{3}}\right)}}^{{3}}={0} \) cioè la formula è esatta anche per il grado 3.

Tuttavia il grado 4 fallisce, quindi puoi concludere che la formula ha gdp 3.

Più chiaro ora?

[squalllionheart]

Grazie Paolo sei molto gentile non capisco che vuoi dire che devo imporre per l'esattezza della formula sulla funzione (polinomiale) f(x)≡1.
Vediamo se ho capito: avendo due nodi come il grado di esatezza può essere al più \( \displaystyle {5} \) dato che è al massimo \( \displaystyle {2}{n}+{1} \) dato che un formula di quadratura del tipo \( \displaystyle {I}{\left({g}\right)}={\sum_{{0}}^{{1}}}\alpha_{{i}}{g{{\left({x}_{{i}}\right)}}} \) nel nostro caso abbiamo \( \displaystyle \alpha_{{i}}={w} \) a questo punto rifacendo i calcoli fino al grado cinque (l'ho fatto fino al cinque perchè poteva essere il massimo), nel modo che mi hai fatto vadere, mi rendo conto che il sistema diventa incompatibile al grado quattro dato che ho \( \displaystyle {{h}}^{{2}}=\frac{{1}}{{3}} \) e \( \displaystyle {{h}}^{{4}}=\frac{{1}}{{5}} \) quindi mi fermo al terzo dato che ho \( \displaystyle {0}={0} \).
Sarebbe stata di quarto grado se avessi avuto \( \displaystyle {{h}}^{{4}}=\frac{{1}}{{9}} \) in questo caso andava ancora bene?

P.s.
Io credo che la questione dell'esattezza sia legata a un'altra domanda che volevo fare, a questo punto cogco l'occasione e la propongo a te
Nell'interpolazione di Lagrange arriviamo a dire che \( \displaystyle {\sum_{{{i}={0}}}^{{1}}}{L}_{{{i},{n}}}{\left({x}\right)}={1} \) a questo punto devo anche pensare, corregimi se sbaglio che \( \displaystyle {\int_{{-{1}}}^{{+{1}}}}{L}_{{{i},{n}}}{\left({x}\right)}{\left.{d}{x}\right.}={1} \)?

Grazie ancora

[Paolo90]

Grazie Paolo sei molto gentile non capisco che vuoi dire che devo imporre per l'esattezza della formula sulla funzione (polinomiale) f(x)≡1.

Per prima cosa, prego figurati, è un piacere.

Adesso, prendi l'integrale \( \displaystyle {\int_{{a}}^{{b}}}{f{{\left({x}\right)}}}{\left.{d}{x}\right.} \) e supponi di approssimarlo con \( \displaystyle {\sum_{{{i}={0}}}^{{n}}}\lambda_{{i}}{f{{\left({x}_{{i}}\right)}}} \) dove gli \( \displaystyle {\left({x}_{{i}},{f{{\left({x}_{{i}}\right)}}}\right)} \) sono \( \displaystyle {\left({n}+{1}\right)} \) nodi distinti dati interni ad \( \displaystyle {\left[{a},{b}\right]} \).

In generale, la formula di quadratura approssimerà soltanto l'integrale, nel senso che commetti un errore di troncamento (un errore che non dipende dai dati, ma è un errore da cui non puoi scappare, intrinseco alla formula).

Quando scrivo "imporre l'esattezza" della quadratura, intendo dire che il valore dell'integrale è esattamente il valore della quadratura.
Da qui si arriva facilmente al concetto di gdp, la cui definizione l'ho riportata qualche post fa. Nota che tutto ha senso, perchè gli integrali di polinomi li sappiamo calcolare.

Vediamo se ho capito: avendo due nodi come il grado di esatezza può essere al più \( \displaystyle {5} \) dato che è al massimo \( \displaystyle {2}{n}+{1} \) dato che un formula di quadratura del tipo \( \displaystyle {I}{\left({g}\right)}={\sum_{{0}}^{{1}}}\alpha_{{i}}{g{{\left({x}_{{i}}\right)}}} \) nel nostro caso abbiamo \( \displaystyle \alpha_{{i}}={w} \) a questo punto rifacendo i calcoli fino al grado cinque (l'ho fatto fino al cinque perchè poteva essere il massimo), nel modo che mi hai fatto vadere, mi rendo conto che il sistema diventa incompatibile al grado quattro dato che ho \( \displaystyle {{h}}^{{2}}=\frac{{1}}{{3}} \) e \( \displaystyle {{h}}^{{4}}=\frac{{1}}{{5}} \) quindi mi fermo al terzo dato che ho \( \displaystyle {0}={0} \).

No, c'è un errore di fondo. Se hai \( \displaystyle {n} \) nodi, il grado di precisione massimo è \( \displaystyle {2}{n}-{1} \). Tu hai due nodi, quindi al massimo hai gdp 3 (ed è quello che capita, proprio perchè la tua è una quadratura di tipo gaussiano).

E' facile convincersi di ciò, ma bisogna avere un po' di dimestichezza con le quadrature gaussiane e i polinomi ortogonali... come sei messa in materia? Se vuoi possiamo discutere della dimostrazione... .

P.s.
Io credo che la questione dell'esattezza sia legata a un'altra domanda che volevo fare, a questo punto cogco l'occasione e la propongo a te
Nell'interpolazione di Lagrange arriviamo a dire che \( \displaystyle {\sum_{{{i}={0}}}^{{1}}}{L}_{{{i},{n}}}{\left({x}\right)}={1} \) a questo punto devo anche pensare, corregimi se sbaglio che \( \displaystyle {\int_{{-{1}}}^{{+{1}}}}{L}_{{{i},{n}}}{\left({x}\right)}{\left.{d}{x}\right.}={1} \)?

Grazie ancora

Non capisco che cosa intendi. I polinomi fondamentali di Lagrange formano una partizione dell'unità: \( \displaystyle {\sum_{{{i}={0}}}^{{n}}}{L}_{{i}}{\left({x}\right)}={1} \).
L'integrale dei polinomi di Lagrange su nodi equispaziati serve a costruire i cosiddetti numeri di Cotes, che servono per le quadrature interpolatorie di Newton-Cotes.

Personalmente, non vedo legami tra i due fatti.

Sperando di esserti stato utile

P.S. Se hai dubbi, ovviamente, fai un fischio

[squalllionheart]

No, c'è un errore di fondo. Se hai \( \displaystyle {n} \) nodi, il grado di precisione massimo è \( \displaystyle {2}{n}-{1} \). :

Hai ragione rilegendo il Quarternoni-Sacco-Salieri p.311 dice
"Il grado massimo dell'esattezza della formula a \( \displaystyle {n}+{1} \) nodi è \( \displaystyle {2}{n}+{1} \). "
Quindi detto nella sua lingua, n=1 dato che i nodi sono 2... Scusa di averti contradetto

Grazie ancora un bacio Mari.

P.s.
E' un caso che la somma degli integrali dei polinomi di Lagrange faccia 1?

[Paolo90]

No, c'è un errore di fondo. Se hai \( \displaystyle {n} \) nodi, il grado di precisione massimo è \( \displaystyle {2}{n}-{1} \). :

Hai ragione rilegendo il Quarternoni-Sacco-Salieri p.311 dice
"Il grado massimo dell'esattezza della formula a \( \displaystyle {n}+{1} \) nodi è \( \displaystyle {2}{n}+{1} \). "
Quindi detto nella sua lingua, n=1 dato che i nodi sono 2... Scusa di averti contradetto

Grazie ancora un bacio Mari.

Figurati se ti devi scusare per avermi contraddetto
Non c'è problema, l'importante è che sia tutto chiaro.

P.s.
E' un caso che la somma degli integrali dei polinomi di Lagrange faccia 1?

Guarda io ti dico: non ho mai visto da nessuna parte questo risultato e francamente ho dei dubbi sulla sua veridicità.
Bisogna specificare l'intervallo di integrazione perchè secondo me tutto dipende da quello.

Dati \( \displaystyle {n}+{1} \) nodi, noi sappiamo che \( \displaystyle {\sum_{{{i}={0}}}^{{n}}}{l}_{{i}}{\left({x}\right)}={1} \), dove con \( \displaystyle {l}_{{i}}{\left({x}\right)} \) intendo l'\( \displaystyle {i}- \)esimo polinomio fondamentale di Lagrange. Questo si dimostra facilmente.

Poi considera che - come già si diceva sopra - l'integrale è un funzionale lineare, dunque l'integrale della somma è la somma degli integrali. In definitiva,

\( \displaystyle {\sum_{{{i}={0}}}^{{n}}}{\int_{{a}}^{{b}}}{l}_{{i}}{\left({x}\right)}{\left.{d}{x}\right.}={\int_{{a}}^{{b}}}{\sum_{{{i}={0}}}^{{n}}}{l}_{{i}}{\left({x}\right)}{\left.{d}{x}\right.}={\int_{{a}}^{{b}}}{1}{\left.{d}{x}\right.}={b}-{a} \)

Che dici, ti torna?

[squalllionheart]

Ho fatto lo stesso ragionamento anche io