Determinare il polinomio minimo

[highlander88]

Un saluto a tutti quelli che leggeranno, sono nuovo in questo forum.
Sono impegnato sullo studio di Matematica Discreta di cui ho l'esame tra qualche giorno, e un argomento dello scritto tratta del calcolo dei polinomi minimi, l'unico argomento esercitativo che non mi è chiaro assolutamente.
Ad esempio, determinare il polinomio minimo su Q di :

\( \displaystyle \sqrt{{{3}+\sqrt{{{11}}}}} \)
\( \displaystyle \sqrt{{{2}}}\cdot{i}+\sqrt{{{5}}} \)
\( \displaystyle \sqrt{{{5}}}\cdot{i}+\sqrt{{{2}}} \)

Grazie per l'aiuto

[mistake89]

Per piacere usa le formule perchè così non si capisce nulla!

[highlander88]

Per piacere usa le formule perchè così non si capisce nulla!

Perdonami, sono nuovo e non ero a conoscenza di ciò. Comunque grazie per avermelo detto.

[highlander88]

Suppongo quindi che nessuno li sappia fare questi esercizi...

[mistake89]

Ti faccio vedere il primo poi gli altri analogamente...
Chiamiamo \( \displaystyle \alpha=\sqrt{{{3}+\sqrt{{{11}}}}} \) allora \( \displaystyle {\alpha}^{{2}}={3}+\sqrt{{{11}}} \) cioè \( \displaystyle {\alpha}^{{2}}-{3}=\sqrt{{{11}}} \) elevando ancora al quadrato abbiamo \( \displaystyle {\alpha}^{{4}}-{6}{\alpha}^{{2}}+{9}={11} \) da cui \( \displaystyle {\alpha}^{{4}}-{6}{\alpha}^{{2}}-{2}={0} \).

Ti basterà provare che il polinomio \( \displaystyle {{x}}^{{4}}-{6}{{x}}^{{2}}-{2}={0} \) è irriducibile su \( \displaystyle \mathbb{Q} \) (tra l'altro si può fare ad occhio ) per dedurre che esso è il polinomio minimo di \( \displaystyle \alpha \)

[highlander88]

Ti faccio vedere il primo poi gli altri analogamente...
Chiamiamo \( \displaystyle \alpha=\sqrt{{{3}+\sqrt{{{11}}}}} \) allora \( \displaystyle {\alpha}^{{2}}={3}+\sqrt{{{11}}} \) cioè \( \displaystyle {\alpha}^{{2}}-{3}=\sqrt{{{11}}} \) elevando ancora al quadrato abbiamo \( \displaystyle {\alpha}^{{4}}-{6}{\alpha}^{{2}}+{9}={11} \) da cui \( \displaystyle {\alpha}^{{4}}-{6}{\alpha}^{{2}}-{2}={0} \).

Ti basterà provare che il polinomio \( \displaystyle {{x}}^{{4}}-{6}{{x}}^{{2}}-{2}={0} \) è irriducibile su \( \displaystyle \mathbb{Q} \) (tra l'altro si può fare ad occhio ) per dedurre che esso è il polinomio minimo di \( \displaystyle \alpha \)

Grazie mille, ora mi è tutto chiaro.