ho provato a fare questo esercizio, ma la soluzione del libro è un pò differente dalla mia e vorrei sapere il perchè. inoltre non riesco a determinare il nucleo della funzione.
Ecco l'esercizio:
Determinare la matrice associata rispetto alle basi \( \displaystyle {B} \) e \( \displaystyle {{B}}^{'} \), dimensione ed una base dell'immagine e del nucleo della seguente funzione:
\( \displaystyle {f{:}}{\mathbb{R}}^{{3}}{\left[{t}\right]}\to{\mathbb{R}}^{{2}}{\left[{t}\right]},{f{{\left({a}{{t}}^{{3}}+{b}{{t}}^{{2}}+{c}{t}+{d}\right)}}}={\left({a}+{c}\right)}{{t}}^{{2}}+{\left(-{2}{a}+{3}{b}+{c}\right)}{t}+{\left({a}-{b}+{4}{d}\right)} \)
e le basi
\( \displaystyle {B}={\left({1},{t},{{t}}^{{2}},{{t}}^{{3}}\right)} \)
\( \displaystyle {{B}}^{'}={\left({1},{t},{{t}}^{{2}}\right)} \)
(che dovrebbero essere le basi canoniche dei rispettivi spazi vettoriali giusto?)
Adesso, io per calcolare la matrice associata ho fatto così:
\( \displaystyle {f{{\left({1}\right)}}}={f{{\left({0},{0},{0},{1}\right)}}}={4}\ldots\ldots\ldots\ldots{\left({0},{0},{4}\right)}={4}{\left({0},{0},{1}\right)}+{0}{\left({0},{1},{0}\right)}+{0}{\left({1},{0},{0}\right)}\ldots\ldots..{c}{o}{l}{1}{\left({4},{0},{0}\right)} \)
\( \displaystyle {f{{\left({t}\right)}}}={f{{\left({0},{0},{1},{0}\right)}}}={{t}}^{{2}}+{t}\ldots\ldots\ldots\ldots{\left({1},{1},{0}\right)}={0}{\left({0},{0},{1}\right)}+{1}{\left({0},{1},{0}\right)}+{1}{\left({1},{0},{0}\right)}\ldots\ldots..{c}{o}{l}{2}{\left({0},{1},{1}\right)} \)
\( \displaystyle {f{{\left({{t}}^{{2}}\right)}}}={f{{\left({0},{1},{0},{0}\right)}}}={3}{t}-{3}\ldots\ldots\ldots\ldots{\left({0},{3},-{3}\right)}=-{3}{\left({0},{0},{1}\right)}+{3}{\left({0},{1},{0}\right)}+{0}{\left({1},{0},{0}\right)}\ldots\ldots..{c}{o}{l}{3}{\left(-{3},{3},{0}\right)} \)
\( \displaystyle {f{{\left({{t}}^{{3}}\right)}}}={f{{\left({1},{0},{0},{0}\right)}}}={{t}}^{{2}}-{2}{t}+{1}\ldots\ldots\ldots\ldots{\left({1},-{2},{1}\right)}={1}{\left({0},{0},{1}\right)}-{2}{\left({0},{1},{0}\right)}+{1}{\left({1},{0},{0}\right)}\ldots\ldots..{c}{o}{l}{4}{\left({1},-{2},{1}\right)} \)
La matrice associata risulta essere quindi \( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{4}&{0}&-{3}&{1}\\{0}&{1}&{3}&-{2}\\{0}&{1}&{0}&{1}}\right)} \)
Mentre la soluzione "ufficiale" dell'esercizio è: \( \displaystyle {B}={\left(\matrix{{4}&{0}&-{1}&{1}\\{0}&{1}&{3}&-{2}\\{0}&{1}&{0}&{1}}\right)} \)
Se sbaglio io, dov'è l'errore?
Inoltre, per calcolare l'immagine di \( \displaystyle {f} \) ho fatto così:
\( \displaystyle {I}{m}{f{=}}{L}{\left({f{{\left({1}\right)}}},{f{{\left({t}\right)}}},{f{{\left({{t}}^{{2}}\right)}}},{f{{\left({{t}}^{{3}}\right)}}}\right)}={L}{\left({4},{{t}}^{{2}}+{t},{3}{t}-{3},{{t}}^{{2}}-{2}{t}+{1}\right)} \)
Se il procedimento è corretto, so che la dimensione dell'immagine di f è 2.
Non mi è chiarissimo però questo passaggio. Questo significa che ho trovato una base di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}}{\left[{t}\right]} \) e che quindi la funzione è suriettiva?
Inoltre, sapendo che \( \displaystyle \dim{K}{e}{r}{\left({f}\right)}+\dim{I}{m}{\left({f}\right)}=\dim{\mathbb{R}}^{{3}}{\left[{t}\right]}\to{K}{e}{r}{\left({f}\right)}+{2}={4}\to{k}{e}{r}{\left({f}\right)}={2} \), so per certo che la funzione ha un nucleo diverso dall'elemento nullo(che non si chiama vettore nullo nei polinomi??).
Solo che proprio non riesco a calcolarmi il nucleo.
L'dea che avevo è di porre tutto a zero ovvero
\( \displaystyle {\left({a}+{c}\right)}{{t}}^{{2}}+{\left(-{2}{a}+{3}{b}+{c}\right)}{t}+{\left({a}-{b}+{4}{d}\right)}={0} \)
solo che non credo sia la cosa corretta da fare.
Potreste aiutarmi per favore?
Grazie mille, di tutto
