Determinare matrice con proprietà del determinante

[onizuka89]

Salve a tutti, ho provato a cercare nel forum, ma non ho trovato nulla, io ho questo esercizio:
Si indichi una matrice \( \displaystyle {A}\in{{R}}^{{{3}{x}{3}}} \) verificante le proprietà:

\( \displaystyle {V}={\left\lbrace{x}\in{{R}}^{{3}}:{3}{x}{1}+{5}{x}{2}-{x}{3}={0}\right\rbrace} \) e \( \displaystyle {W}={\left(\matrix{{3}\\{5}\\-{1}}\right)} \) sono entrambi auto spazi di A

\( \displaystyle {{A}}^{{2}}={5}{I} \)

Io ho fatto in questo modo:
Ho trovato una base di V

\( \displaystyle {V}={\left\langle{\left(\matrix{{1}\\{0}\\{3}}\right)};{\left(\matrix{{0}\\{1}\\{5}}\right)}\right\rangle} \)

Poi ho fatto in maniera che gli autovalori siano \( \displaystyle \sqrt{{{5}}} \) con molteplicità 2 e \( \displaystyle -\sqrt{{{5}}} \) in pratica avrei:

\( \displaystyle {A}{\left(\matrix{{1}\\{0}\\{3}}\right)}=\sqrt{{{5}}}{\left(\matrix{{1}\\{0}\\{3}}\right)}; \) \( \displaystyle {A}{\left(\matrix{{0}\\{1}\\{5}}\right)}=\sqrt{{{5}}}{\left(\matrix{{0}\\{1}\\{5}}\right)}; \) \( \displaystyle {A}{\left(\matrix{{3}\\{5}\\-{1}}\right)}=-\sqrt{{{5}}}{\left(\matrix{{3}\\{5}\\-{1}}\right)} \)

Ora, io devo trovare la matrice A, pensavo di cercare le colonne di A sfruttando l'applicazione \( \displaystyle {L}{a}{\left({x}\right)} \) nella base canonica, ma il professore ha detto che vuole che io trovi a sfruttando le proprietà del determinante, e quindi ora nn mi viene in mente niente, come posso fare?

Grazie

[StefanoViareggio]

Mi pare che tu abbia finito, hai 3 autovettori linearmente indipendenti,3 autovalori.

Scrivi la matrice A come forma BDB^-1 attenzione a come posizioni gli autovalori rispetto agli autovettori