Determinare un vettore non appartenente a \( \displaystyle {I}{m}{\left({f}\right)} \)

[Fuz]

Salve a tutti.
Ho un problema con un esercizio. Data la matrice A (molto semplice)

3 -3
2 k

mi viene chiesto, ponendo k= -2 di determinare, se esiste, un vettore \( \displaystyle {v} \) non appartenente a \( \displaystyle {I}{m}{\left({f}\right)} \).

Ora, con k=-2:
- \( \displaystyle {r}{g{{\left({A}\right)}}}={1} \);
- \( \displaystyle {\det{{\left({A}\right)}}}={0} \).

Se non sbaglio, l'esistenza del vettore \( \displaystyle {v} \) è legato al \( \displaystyle {\det{{\left({A}\right)}}} \). Però non so altro. Potete aiutarmi?

Grazie mille in anticipo

[apatriarca]

L'immagine è data da:
\( \displaystyle {\left(\matrix{{3}&-{3}\\{2}&-{2}}\right)}{\left(\matrix{{x}\\{y}}\right)}={\left(\matrix{{3}\\{2}}\right)}{\left({x}-{y}\right)} \),
cioè il sottospazio generato da \( \displaystyle {v}={\left(\matrix{{3}\\{2}}\right)} \).
Per trovare un vettore che non si trova nell'immagine è sufficiente scegliere un vettore non parallelo a \( \displaystyle {v} \). Per esempio \( \displaystyle {\left(\matrix{-{2}\\{3}}\right)} \).

[franced]

Data la matrice A (molto semplice)

3 -3
2 k

mi viene chiesto, ponendo k= -2 di determinare, se esiste, un vettore \( \displaystyle {v} \) non appartenente a \( \displaystyle {I}{m}{\left({f}\right)} \).

Ora, con k=-2:
- \( \displaystyle {r}{g{{\left({A}\right)}}}={1} \);
- \( \displaystyle {\det{{\left({A}\right)}}}={0} \).

Se non sbaglio, l'esistenza del vettore \( \displaystyle {v} \) è legato al \( \displaystyle {\det{{\left({A}\right)}}} \). Però non so altro. Potete aiutarmi?

La situazione è la seguente:

\( \displaystyle {\det{{\left({A}\right)}}}={0} \) se e solo se esiste un vettore che non sta in \( \displaystyle {I}{m}{\left({A}\right)} \) .

[Fuz]

La situazione è la seguente:

\( \displaystyle {\det{{\left({A}\right)}}}={0} \) se e solo se esiste un vettore che non sta in \( \displaystyle {I}{m}{\left({A}\right)} \) .

Quindi si può anche dire che se il \( \displaystyle {\det{{\left({A}\right)}}}={0} \) \( \displaystyle \Rightarrow \) esiste un vettore che non sta in \( \displaystyle {I}{m}{\left({A}\right)} \), giusto?


Molto utile. Grazie a tutti e due

[franced]

La situazione è la seguente:

\( \displaystyle {\det{{\left({A}\right)}}}={0} \) se e solo se esiste un vettore che non sta in \( \displaystyle {I}{m}{\left({A}\right)} \) .

Quindi si può anche dire che se il \( \displaystyle {\det{{\left({A}\right)}}}={0} \) \( \displaystyle \Rightarrow \) esiste un vettore che non sta in \( \displaystyle {I}{m}{\left({A}\right)} \), giusto?

Certo.