Diagonalizzazione di una matrice con incognita k

[nicco]

Salve a tutti io ho un problema di risoluzione di una matrice 4x4 con all'interno un incognita, mi viene chiesto di dire per quale valore dell'incognita k la matrice è diagonalizzabile e invertibile. la matrice è la seguente:
\( \displaystyle {\left.\matrix{{3}&-{1}&{1}&{2}\\{0}&{1}&{2}&{k}\\{0}&{1}&{2}&-{2}\\{0}&{0}&{0}&{3}}\right.} \)
io ho provato a calcolare il determinante ma mi viene sempre uguale a zero, questo mi dice che non può essere invertibile(e ne diagonalizzabile di conseguenza) .
A questo punto non capisco dove stia sbagliando poichè non riesco a giungere alla soluzione del problema.
spero che vogliate scusare la mia ignoranza e darmi una mano. Vi ringrazio anticipatamente.

[mistake89]

il determinante effettivamente viene \( \displaystyle {0} \), e quindi è degenere per ogni valore di \( \displaystyle {k} \)... ma perchè non è diagonalizzabile?

[nicco]

Perchè non posso trovarne l'inversa e poi senza calcolare il determinante, come faccio a ottenere il valore del parametro k che mi serve? l'esrcizio prosegue chiedendo: Per questo valore d k scrivere una matrice invertibile P e una diagonale D tali che P^-1AP=D....ma come posso avere una matrice P?

[mistake89]

Perchè è necessario che la nostra matrice sia invertibile per essere diagonalizzabile? E' la matrice diagonalizzante, la nostra \( \displaystyle {P} \), a dover essere invertibile...

Una matrice quadrata è diagonalizzabile se e solo se è simile ad una matrice diagonale... questioni sull'invertibilità o meno io non ne vedo!

[nicco]

si hai ragione questi sono miei castelli...però come me lo tovo il valore di k?

[mistake89]

Scrivi il polinomio caratteristico... e discuti tutti i casi normalmente. Il polinomio caratteristico non dipende da \( \displaystyle {k} \) se lo sviluppi in maniera appropriata...

[nicco]

infatti viene x(x-3)^3....ma il problema rimane lo stesso io devo dare un valore a k che sia un numero reale...

[mistake89]

\( \displaystyle {k} \) è un numero. Non ti deve mica spaventare... hai un autovalore semplice ed uno triplo. Verifica la dimensione di \( \displaystyle {V}_{{3}} \) come hai sempre fatto. Quando ti capiterà di calcolare \( \displaystyle {k}{t} \) verifica se per qualche \( \displaystyle {k} \) particolare cambiano i risultati. Altrimenti vuol dire che per ogni \( \displaystyle {k}\in\mathbb{R} \) la soluzione non cambia!

[nicco]

ok ora provo e vedo!grazie!!!!