Diagramma di Bode...espressione di G(s)

[bius88]

Salve a tutti, sto facendo un esercizio sui diagrammi di Bode e non riesco a capire come si arriva all'espressione fattorizzata di \( \displaystyle {G}{\left({s}\right)} \):
la funzione di trasferimento è \( \displaystyle {G}{\left({s}\right)}={16}\frac{{{s}+{5}}}{{{s}{\left({s}+{1}\right)}{\left({s}+{8}\right)}}} \), per tracciare i diagrammi di Bode è conveniente riferirsi all'espressione fattorizzata di \( \displaystyle {G}{\left({s}\right)} \) ossia:
\( \displaystyle {G}{\left({s}\right)}=\frac{{{10}{\left({1}+\frac{{s}}{{5}}\right)}}}{{{s}+{\left({1}+{s}\right)}{\left({1}+\frac{{s}}{{8}}\right)}}} \). Come si ricava?

Grazie!!

[Ska]

Devi riportarti nella forma \( \displaystyle G(s) = \frac{\mu \prod_j (T_j s + 1)} {s^g \prod_i (\tau_i s + 1)} \)

Dunque dalla forma \( \displaystyle G(s) = \mu' \frac{\prod_j (s + b_j)}{s^g \prod_i (s + a_i)} \) , al numeratore raccogli da ogni fattore \( \displaystyle b_j \) , al denominatore raccogli invece \( \displaystyle a_i \) , ottendendo \( \displaystyle G(s) = \mu' \frac{\prod_j b_j(\frac{s}{b_j} + 1)}{s^g \prod_i a_i(\frac{s}{a_i} + 1)} = \mu' \frac{\prod_j b_j}{\prod_i a_i}\frac{\prod_j (\frac{s}{b_j} + 1)}{s^g \prod_i (\frac{s}{a_i} + 1)} \) .

\( \displaystyle \mu = \mu'\frac{\prod_j b_j}{\prod_i a_i} \) , \( \displaystyle T_j = \frac{1}{b_j} \) , \( \displaystyle \tau_i = \frac{1}{a_i} \) .

[bius88]

Queste definizioni le ho già lette ma non le ho capite
Potresti farmi un esempio con la G(s) che ti ho dato.....forse riuscirei a capire meglio se ci sono i numeri!

Grazie 1000!!!

[Ska]

Cosa c'è di difficile?! È solo un raccoglimento di coefficienti!

Cmq nel tuo caso \( \displaystyle G(s)= 16 \frac{s+5}{s(s+1)(s+8)} = 16\frac{5 (\frac{s}{5} + 1)}{1\cdot 8\cdot s(s+1)(\frac{s}{8} + 1)} = \frac{16 \cdot 5}{8} \frac{\frac{s}{5} +1}{s(s+1)(\frac{s}{8} + 1)} = 10 \frac{\frac{s}{5} +1}{s(s+1)(\frac{s}{8} + 1)} \)

[bius88]

ah ok....era una scemenza.....grazie! continuo l'esercizio:

ricavo \( \displaystyle {G}{\left({j}\omega\right)}=\frac{{{10}{\left({1}+\frac{{{j}\omega}}{{5}}\right)}}}{{{j}\omega{\left({1}+{j}\omega\right)}{\left({1}+\frac{{{j}\omega}}{{8}}\right)}}} \)
La costante di guadagno è \( \displaystyle {K}={10} \) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle {K}_{{{d}{B}}}={20}{\log}_{{10}}{\left|{10}\right|}={20}{d}{B} \).

I punti di rottura sono (in ordine crescente):

\( \displaystyle \omega_{{{p}{1}}}={1} \) relativo al primo polo \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle \omega_{{{p}{1}{a}}}={0.2} \) e \( \displaystyle \omega_{{{p}{1}{b}}}={5} \) (per il diagramma dlle fasi)
\( \displaystyle \omega_{{z}}={5} \)relativo allo zero \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle \omega_{{{z}{a}}}={1} \) e \( \displaystyle \omega_{{{z}{b}}}={25} \) (per il diagramma dlle fasi)
\( \displaystyle \omega_{{{p}{2}}}={8} \)relativo al secondo polo \( \displaystyle \Rightarrow \)\( \displaystyle \omega_{{{p}{2}{a}}}={1.6} \) e \( \displaystyle \omega_{{{p}{2}{b}}}={40} \) (per il diagramma dlle fasi)

Anche qui non ho capito una cosa...come fa a ricavare \( \displaystyle \omega_{{{p}{1}{a}}} \) e \( \displaystyle \omega_{{{p}{1}{b}}} \)?

Grazie di cuore!

[Ska]

Cosa sarebbero \( \displaystyle \omega_{{{p}{1}{a}}} \) e \( \displaystyle \omega_{{{p}{1}{b}}} \)?

[bius88]

Dovrebbero essere i valori delle ampiezze nel diagramma dei moduli e i valori delle fasi nel diagramma delle fasi.