![\xymatrix{
Z \ar@/_10pt/[ddr]_{z_1} \ar@/^10pt/[drr]^{z_2} \ar@{.>}[dr]|{u} & & \\
& A\times_C B \ar[d]_(0.4){p_1} \ar[r]^(0.6){p_2} & B \ar[d]^{g}\\
& A \ar[r]_{f} & C
}](/forum/latexrender/pictures/c652451d7a7aa44466299738c93d2e6c.png "\xymatrix{
Z \ar@/_10pt/[ddr]_{z_1} \ar@/^10pt/[drr]^{z_2} \ar@{.>}[dr]|{u} & & \\
& A\times_C B \ar[d]_(0.4){p_1} \ar[r]^(0.6){p_2} & B \ar[d]^{g}\\
& A \ar[r]_{f} & C
}")
.![\xymatrix{
A\times_C B \ar[r]\ar[d] & B\ar[d]^g \\
A\ar[r]_f & C
}](/forum/latexrender/pictures/646b03f73d56bcadcc1edda63f00623e.png "\xymatrix{
A\times_C B \ar[r]\ar[d] & B\ar[d]^g \\
A\ar[r]_f & C
}")
Proposizione. Consideriamo il diagramma commutativo
![\xymatrix{
F \ar[r]^{f'}\ar[d]_{h''} & E\ar[r]^{g'}\ar[d]^{h'} & D\ar[d]^h \\
A \ar[r]_f & B\ar[r]_g & C
}](/forum/latexrender/pictures/e16fb95666080f77d5d08d8ac34ceebd.png "\xymatrix{
F \ar[r]^{f'}\ar[d]_{h''} & E\ar[r]^{g'}\ar[d]^{h'} & D\ar[d]^h \\
A \ar[r]_f & B\ar[r]_g & C
}")
Allora, se il quadrato sinistro \`e un diagramma di pullback, il quadrato destro lo \`e se e solo se lo \`e il rettangolo esterno (ossia se e solo se $(F,f',h'')$ \`e il pullback di $g\circ f : A\to C\leftarrow E : h\circ g'$).
La dimostrazione e' un esercizio di diagram chiasing: mi sono accorto pero' che queste ipotesi sono insufficienti, e si deve aggiungere il fatto che la freccia $g'$ sia un monomorfismo, per mostrare che, laddove il rettangolo esterno e il quadrato destro siano quadrati di prodotto fibrato, lo e' anche il quadrato sinistro. Sono suffragato, da questa osservazione, dall'Hilton-Stammbach, (A course in Homological Algebra, GTM4, Springer Verlag).
Vi chiedo conferma di questo, dato che Hilton e Stammbach sono gli unici a inserire questa ipotesi aggiuntiva. Forse che esiste un modo di evitarla aggirando la necessita' di avere una freccia mono in quel punto?
scrivi tanto in latex eh?
), appena ho tempo correggo. La tesi a parole e' la seguente.