Diapason

[Mr James]

Salve a tutti. Apro la discussione per chiedervi delucidazioni sul diapason, in particolare sulla cassa di risonanza dove di solito è montato. Questa infatti è lunga 20cm, ovvero un quarto della lunghezza d'onda emessa dal diapason, la cui frequenza è 440Hz.
Per creare onde stazionarie però, sappiamo che la frequenza e la lunghezza della colonna d'aria sono legate dalla formula \( \displaystyle {f{=}}\frac{{{n}{v}}}{{{2}{L}}} \) , con v la velocità dell'onda, L la lunghezza e n un numero naturale.
Ma supponendo che la lunghezza della colonna d'aria debba essere un quarto della lunghezza d'onda, la prima formula diventerebbe \( \displaystyle {f{=}}\frac{{{n}{v}}}{{{4}{L}}} \).
Potreste spiegarmi come si ricava che la lunghezza deve essere un quarto della lunghezza d'onda? E come le due formule non si contraddicono a vicenda?
Grazie.

[Falco5x]

Ma la cassa di risonanza è chiusa o aperta su un lato?
Perché se è aperta allora funziona come una canna d'organo a \( \displaystyle \frac{\lambda}{{4}} \).

[Mr James]

Si esatto la cassa è aperta, essendo un parallelepipedo di legno senza una faccia. Mi potresti spiegare come si ricava che la lunghezza dev'essere \( \displaystyle \frac{\lambda}{{4}} \)?

[Falco5x]

Un'onda sonora presenta punti dello spazio nei quali l'ampiezza dello spostamento delle molecole d'aria è zero detti nodi, e punti in cui l'ampiezza è massima detti ventri. In corrispondenza dei nodi dello spostamento c'è la massima escursione della pressione attorno al valore medio, mentre in corrispondenza dei ventri dello spostamento c'è escursione di pressione zero, ovvero la pressione è quella media atmosferica. Infatti spostamento e pressione sono onde fra loro in quadratura.
Se la scatola è chiusa l'onda stazionaria che si instaura si situa con i nodi di spostamento sulle pareti (per continuità, infatti, lo spostamento dell'aria presso le pareti è nullo perché le pareti sono rigide); in questo caso dunque la dimensione deve essere \( \displaystyle \frac{\lambda}{{2}} \). Mentre se la scatola è aperta da un lato, sul lato dove è chiusa si pone un nodo di spostamento, mentre dove è aperta c'è la pressione atmosferica costante, dunque lì si pone un nodo di pressione ovvero un ventre di spostamento. Dunque la dimensione deve essere \( \displaystyle \frac{\lambda}{{4}} \).

[Mr James]

Perdonami, ma i miei dubbi sussistono. Io so che, ad esempio, per ottenere un'onda stazionaria su una corda, la sua lunghezza dev'essere \( \displaystyle {n}\frac{\lambda}{{2}} \). Come può essere stazionaria un'onda su un mezzo lungo \( \displaystyle \frac{\lambda}{{4}} \)? E' vero che la situazione, come tu mi hai spiegato in modo molto chiaro, è diversa (dato che su una corda ai due estremi vi sono due nodi e nella colonna d'aria ho un nodo e un ventre), ma non riesco a spiegarmi come possa essere definita stazionaria un'onda di tale genere.
PS: Grazie per il tempo che mi stai dedicando.

[Falco5x]

Perdonami, ma i miei dubbi sussistono. Io so che, ad esempio, per ottenere un'onda stazionaria su una corda, la sua lunghezza dev'essere \( \displaystyle {n}\frac{\lambda}{{2}} \). Come può essere stazionaria un'onda su un mezzo lungo \( \displaystyle \frac{\lambda}{{4}} \)? E' vero che la situazione, come tu mi hai spiegato in modo molto chiaro, è diversa (dato che su una corda ai due estremi vi sono due nodi e nella colonna d'aria ho un nodo e un ventre), ma non riesco a spiegarmi come possa essere definita stazionaria un'onda di tale genere.
PS: Grazie per il tempo che mi stai dedicando.

L'onda è stazionaria perché ha il nodo e il ventre sempre negli stessi punti.
La situazione è identica a quella che si avrebbe se la scatola fosse chiusa ma lunga il doppio.
Prova a pensare due scatole uguali a quella che hai e mettile una di seguito all'altra in modo speculare, facendole cioè combaciare per il lato aperto. Questo treno di due scatole risuona esattamente come una sola delle due scatole, e qui penso non avrai dubbi che l'onda è stazionaria visto che i suoi nodi sono fissati come quelli di una corda. Al centro di questa scatola doppia c'è il ventre, e siccome lì la pressione è sempre costante e uguale a quella esterna, proprio lì si può fare un taglio, ovvero separare le due scatole. Il vantaggio della scatola unica è che essendo aperta comunica maggiore potenza all'esterno e quindi suona più forte.

[Mr James]

Ok, grazie mille, ora è chiarissimo.
Perciò, volendo riassumere, possiamo dire che l'onda stazionaria che si insatura nella cassa di risonazna dalla sovrapposizione delle onde generate dal diapason e dalla cassa stessa per risonanza, ha un nodo di pressione sul lato aperto perchè la pressione è uguale a quella atmosferica in quel punto, e un ventre di pressione sulla parete in quanto vi è un nodo di spostamento, essendo le pareti rigide. Da cui possiamo dedurre che la lunghezza della cassa è un quarto della lunghezza d'onda emessa.
E' corretta quest'interpretazione?

[Falco5x]

Ok, grazie mille, ora è chiarissimo.
Perciò, volendo riassumere, possiamo dire che l'onda stazionaria che si insatura nella cassa di risonazna dalla sovrapposizione delle onde generate dal diapason e dalla cassa stessa per risonanza, ha un nodo di pressione sul lato aperto perchè la pressione è uguale a quella atmosferica in quel punto, e un ventre di pressione sulla parete in quanto vi è un nodo di spostamento, essendo le pareti rigide. Da cui possiamo dedurre che la lunghezza della cassa è un quarto della lunghezza d'onda emessa.
E' corretta quest'interpretazione?

Corretta.
Ciao.