Diffeomorfismi

[cirasa]

Se non ricordo male, sei un'appassionata e non una studentessa, vero?
Sto pensando alle immagini del paraboloide iperbolico e del cilindro rappresentate qui.
L'idea, parlando in maniera "informale", è quella di prendere l'iperboloide e "deformarlo" attaverso una opportuna trasformazione "regolare" (detta appunto diffeomorfismo) nel cilindro.
La trasformazione agisce in questo modo: prende un punto \( \displaystyle {P} \) sull'iperboloide, si traccia la semiretta di origine sull'asse \( \displaystyle {z} \) (quello verticale) passante per \( \displaystyle {P} \) e perpendicolare all'asse \( \displaystyle {z} \), si interseca tale semiretta con il cilindro. Il punto di intersezione semiretta-cilindro è il trasformato di \( \displaystyle {P} \).
Non so se è chiaro come agisce questa trasformazione. Spero di aver reso l'idea....
Ciao!

[tinam73]

Si, ti ricordi bene.

ma come si fa a scrivere l'applicazione (diffeomorfismo) che mi hai spiegato in modo formale?

[cirasa]

Vuol dire scrivere il diffeomorfismo mediante la sua espressione esplicita in funzione delle sue funzioni componenti, ovvero scrivere \( \displaystyle {F}:{I}\to{C} \), dove ho denotato con \( \displaystyle {I} \) l'iperboloide e con \( \displaystyle {C} \) il cilindro, nel seguente modo
\( \displaystyle {F}{\left({x},{y},{z}\right)}={\left({f}_{{1}}{\left({x},{y},{z}\right)},{f}_{{2}}{\left({x},{y},{z}\right)},{f}_{{3}}{\left({x},{y},{z}\right)}\right)}\in{C} \)
per ogni \( \displaystyle {\left({x},{y},{z}\right)}\in{I} \), dove \( \displaystyle {f}_{{1}},{f}_{{2}},{f}_{{3}} \) sono tre funzioni (da determinare).

Secondo me, questo esercizio consiste in due fasi:
- capire come può agire un diffeomorfismo che trasforma \( \displaystyle {I} \) in \( \displaystyle {C} \), come può essere questa "deformazione", che è quello che ho suggerito io a Nullissi;
- scrivere esplicitamente questa trasformazione mediante funzioni e verificare che si tratta effettivamente di un diffeomorfismo, e questo è il lavoro che ancora da finire.

[Nullissi]

Io ho provato a fare i calcoli e ho trovato \( \displaystyle {f{:}}{S}\to{C} \) tale che \( \displaystyle {f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}={\left(\frac{{x}}{\sqrt{{{c}+{{z}}^{{2}}}}},\frac{{y}}{\sqrt{{{c}+{{z}}^{{2}}}}},\frac{{z}}{\sqrt{{{c}}}}\right)} \) con inversa \( \displaystyle {{f}}^{{-{1}}}={\left({x}\sqrt{{{c}{\left({1}+{{z}}^{{2}}\right)}}},{y}\sqrt{{{c}{\left({1}+{{z}}^{{2}}\right)},{z}\sqrt{{{c}}}}}\right.} \)
Torna anche a voi?

[cirasa]

Io ho provato a fare i calcoli e ho trovato \( \displaystyle {f{:}}{S}\to{C} \) tale che \( \displaystyle {f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}={\left(\frac{{x}}{\sqrt{{{c}+{{z}}^{{2}}}}},\frac{{y}}{\sqrt{{{c}+{{z}}^{{2}}}}},\frac{{z}}{\sqrt{{{c}}}}\right)} \) con inversa \( \displaystyle {{f}}^{{-{1}}}={\left({x}\sqrt{{{c}{\left({1}+{{z}}^{{2}}\right)}}},{y}\sqrt{{{c}{\left({1}+{{z}}^{{2}}\right)},{z}\sqrt{{{c}}}}}\right.} \) Torna anche a voi?

A me sembra che la \( \displaystyle {f} \) funzioni.
Non capisco quel riscalamento sulla terza variabile (hai diviso \( \displaystyle {z} \) per \( \displaystyle \sqrt{{{c}}} \), non credo che ce ne fosse bisogno, correggimi se sbaglio), però di prim'acchito sembra funzionare.

P.S. Per cortesia, usa meglio le formule, altrimenti è complicato leggere il tuo post. Per esempio, non si capisce come agisce \( \displaystyle {{f}}^{{-{1}}} \).

[Alexp]

[mod="Alexp"]
@"Nullissi" ho provveduto a correggere le formule...ma presta più attenzione in futuro, altrimenti rischi che non si capisca nulla di ciò che scrivi!
[/mod]

Ancora una volta concordo con "cirasa", non capisco perchè hai diviso la \( \displaystyle {z} \) per \( \displaystyle \sqrt{{c}} \)....credo anche io che non ce ne sia proprio bisogno.
Tutto il resto mi sembra OK! Ciao

P.S: comunque anche l'idea proposta da "cirasa" la trovo molto carina, l'importante, come del resto puntualizza lui, è che bisogna specificare che la retta abbia origine sull'asse \( \displaystyle {z} \), altrimenti si perde l'iniettività.

[cirasa]

Grazie Alexp, sono contento che trovi carina la mia idea!

[Nullissi]

Grazie e scusate per le formule ma non ho capito come devo correggerle..

[Alexp]

Ciao "Nullissi",
prova a leggerti bene questo link...

http://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html

poi, ti consiglio, di iniziare a prendere cofidenza con ASCIIMathML e poi col tempo passare a Tex...Tex è un po' più complicato, per iniziare, secondo me, il MathML è più indicato...