Diffeomorfismi

[Nullissi]

Ciao a tutti, sto cercando di risolvere un esercizio di geometria differenziale e potrei essere vicina alla soluzione ma non riesco a trovare un diffeomorfismo tra l'insieme \( \displaystyle {\left\lbrace{\left({x},{y},{z}\right)}:{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}+{{z}}^{{2}}={c}\right\rbrace} \) con \( \displaystyle {c}\gt{0} \) e il cilindro rappresentato dall'insieme \( \displaystyle {\left\lbrace{\left({u},{v},{w}\right)}:{{u}}^{{2}}+{{v}}^{{2}}={1}\right\rbrace} \). Non posso mandare \( \displaystyle {z} \) in \( \displaystyle /\sqrt{{{1}-{c}}} \) perchè è negativo, giusto? Potreste aiutarmi? Con \( \displaystyle {c}={0} \) e \( \displaystyle {c}\lt{0} \) ce l'ho fatta, eppure questo mi sembrava il più semplice ... Grazie a tutti!!

[cirasa]

Non vorrei dire cavolate, ma c'è un problema (correggimi se sbaglio).
Immagino che i due insiemi siano entrambi sottoinsiemi di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \).
Vuoi trovare un diffeomorfismo fra il primo insieme, che è la superficie sferica di centro l'origine e raggio \( \displaystyle \sqrt{{{c}}} \), e il cilindro.
Se esistesse un tale diffeomorfismo, sarebbe anche un omeomorfismo. In particolare, la superficie sferica e il cilindro avrebbero lo stesso gruppo fondamentale. Ma il gruppo fondamentale della superficie sferica è banale, mentre il gruppo fondamentale del cilindro è \( \displaystyle \mathbb{Z} \). Quindi, secondo me, un tale diffeomorfismo non esiste.
C'è qualche falla nel mio ragionamento?
Con \( \displaystyle {c}={0} \) il primo insieme è ridotto ad un solo punto. Qual è il diffeomorfismo che hai trovato??

[Nullissi]

Il problema diceva: Data la funzione \( \displaystyle {f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}={{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{{z}}^{{2}} \)mostrare che la superficie di livello c :
\( \displaystyle {S}={\left\lbrace{\left({x},{y},{z}\right)}:{f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}={c}\right\rbrace} \)
non è una varietà per c=0, è diffeomorfa a due copie di \( \displaystyle {{R}}^{{2}} \) per \( \displaystyle {c}\lt{0} \) ed è diffeomorfa al cilindro \( \displaystyle {\left\lbrace{\left({u},{v},{w}\right)}:{{u}}^{{2}}+{{v}}^{{2}}={1}\right\rbrace} \) per \( \displaystyle {c}\gt{0} \).
Io ho visto che non è una varietà per c=0 tramite il teorema dei valori regolari poichè in 0 si annulla lo jacobiano, per \( \displaystyle {c}\lt{0} \) ho riscritto z in funzione di x ed y ed una volta con il segno + una volta con il segno - ho trovato i diffeomorfismi ad \( \displaystyle {{R}}^{{2}} \) giusto? ora che devo fare per \( \displaystyle {c}\gt{0} \)? Grazie!!

[Alexp]

Sinceramente il ragionamento di "cirasa" mi sembra corretto, un diffeomorfismo è anche un omeomorfismo (ovviamente il vice-versa non vale) e quindi due superfici omeomorfe sono anche equivalenti omotopicamente (anche qui il vice-versa non vale), ma questo non può essere vero tra sfera e cilindro in quanto hanno gruppo fondamentale diverso.

[Nullissi]

Si ma il problema dice che esiste tale diffeomorfismo e che è semplice da trovare.. dov'è che sbaglio?

[Alexp]

Ok,
tu inizialmente, nel primo post, hai scritto una funzione diversa...avevi scritto l'equazione di una sfera, ma in realtà la funzione corretta dell'esercizio è
\( \displaystyle {f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}={{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{{z}}^{{2}} \) e questa per \( \displaystyle {c}\gt{0} \) risulta avere una "apertura", infatti i valori delle variabili \( \displaystyle {x} \) ed \( \displaystyle {y} \) devono essere tali da garantire che la somma dei loro quadrati sia sempre maggiore o uguale a \( \displaystyle {c} \)....questa "apertura", che ovviamente dipende dalla \( \displaystyle {c} \) scelta, permette alla funzione di avere stesso gruppo fondamentale del cilindro.

[cirasa]

Suggerimento per Nullissi:
L'equazione \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{{z}}^{{2}}-{c}={0} \) per \( \displaystyle {c}\gt{0} \) è una quadrica ben nota. E' un iperboloide iperbolico con centro nell'origine e assi coincidenti con i tre assi cartesiani.
Prova a visualizzarla. Se non te la ricordi, cerca in rete una sua immagine.
Vedrai che ti viene subito un'idea!
Io non ho provato ma ho un'idea in mente. Se ci sono problemi, chiedi pure e te la illustro.

[Nullissi]

Grazie, con l'immagine ho chiarito il concetto, ora ho capito. Grazie ed a presto!

[cirasa]

Prego!

[tinam73]

Ciao cirasa mi piacerebbe sapere la tua soluzione.