Differenza di potenziale

[drcave]

ehm giuro sono mortificato, per aver fatto scrivere tutte quelle cose, ma avevo postato che il mio problema era un pò diverso:

Ho il raggio \( \displaystyle {R} \) e il modo con cui varia la densità volumetrica di carica: \( \displaystyle \rho=\rho_{{0}}{\left(\frac{{r}}{{R}}\right)} \) con $\rho_0=10^(-7) C/m^3

Per questo avevo fatto quelle considerazioni! Scusa ancora.

[adaBTTLS]

@drcave
in realtà stavo rispondendo a enigmagame, però la cosa è perfettamente analoga se si considera \( \displaystyle {a}=\frac{\rho_{{0}}}{{R}} \) . anche i calcoli tornano...
ciao.

[raff5184]

Il mio dubbio è il seguente, perchè se si tratta di carica nell'unità di volume, non viene utilizzato il volume della sfera \( \displaystyle \frac{{4}}{{3}}\pi{{r}}^{{3}} \) ma la sua superficie \( \displaystyle {4}\pi{{r}}^{{2}} \)?

è fatto implicitamente, nei passaggi soppressi a monte. Per calcolarsi q che è la carica contenuta nel volume della sfera di raggio r occorre integrare \( \displaystyle \rho \) sul volume sferico di raggio r. Ossia fare un integrale in 3D che integri rispetto alle 3 coordinate sferiche.
\( \displaystyle {q}={\int_{{0}}^{{{2}\pi}}}{\int_{{0}}^{\pi}}{\int_{{0}}^{{r}}}{r}{'}^{{2}}{\sin{\theta}}\rho{\left({r}'\right)}{d}\phi\cdot{d}&#{952};\cdot{d}{r}' \) questo ora è concordante con quello che volevi "vedere"? (insomma quello che dici non è per niente sbagliato, solo che i passaggi sono gia stati fatti, ANCHE SE SOLO IN PARTE). Bene facciamo un paio di passaggi:
\( \displaystyle {q}={\int_{{0}}^{{{2}\pi}}}{\int_{{0}}^{\pi}}{\int_{{0}}^{{r}}}{r}{'}^{{2}}{\sin{\theta}}\rho{\left({r}'\right)}{d}\phi\cdot{d}&#{952};\cdot{d}{r}'= \)
\( \displaystyle ={\int_{{0}}^{{{2}\pi}}}{d}\phi{\int_{{0}}^{\pi}}{\sin{\theta}}{d}&#{952};{\int_{{0}}^{{r}}}\rho{\left({r}'\right)}{r}{'}^{{2}}{d}{r}'= \)
\( \displaystyle ={2}\pi\cdot{2}\cdot{\int_{{0}}^{{r}}}{r}{'}^{{2}}\rho{\left({r}'\right)}{d}{r}' \) e questo è querllo che ti viene presentato
Per darti prova che quello che ho scritto viene il volume di una sfera, immagina che non ci sia \( \displaystyle \rho \); siamo arrivati qui:
\( \displaystyle {2}\pi\cdot{2}\cdot{\int_{{0}}^{{r}}}{r}{'}^{{2}}{d}{r}'={4}\pi\cdot{{\left[\frac{{{r}{'}^{{3}}}}{{3}}\right]}_{{0}}^{{r}}}={4}\pi\frac{{{r}}^{{3}}}{{3}} \)

[raff5184]

ho finito di apportare modifiche ora potete leggere